Os candidatos A, B e C participaram de um concurso composto por uma prova de Matemática, uma de Português e outra de Geografia, sendo os pesos dessas três provas diferentes. As notas obtidas por esses três candidatos e os pesos atribuídos a essas provas estão representados nas tabelas:
As notas finais são obtidas somando-se os produtos das notas pelos respectivos pesos. As notas finais dos três candidatos podem ser obtidas multiplicando-se a matriz das notas dos três candidatos nas três provas pela matriz dos pesos das três provas.
A matriz das notas finais dos três candidatos é
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Multiplicação de Matrizes
- Cálculo de Média Ponderada
- Produto Escalar entre Vetores
🔢 Nível da Questão
🔹Médio 🚀 (requer entendimento de multiplicação de matrizes e operações básicas)
✅ Gabarito
- Alternativa B – (46, 46, 43) na forma de coluna
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão nos dá duas tabelas:
- Tabela I: Contém as notas dos candidatos A, B e C em três provas (Matemática, Português e Geografia).
- Tabela II: Indica os pesos de cada prova.
Nosso objetivo é calcular a nota final de cada candidato, multiplicando a matriz de notas pela matriz de pesos e somando os produtos. O resultado será um vetor coluna com as notas finais.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
🔢 O que é uma matriz?
Uma matriz é um conjunto organizado de números dispostos em linhas e colunas. A quantidade de linhas e colunas define a dimensão da matriz.
🔹 Exemplo de matriz 3×3 (3 linhas e 3 colunas):
Cada elemento da matriz representa um número posicionado em uma linha e uma coluna específicas.
🔁 Multiplicação de uma matriz por um vetor (Produto Escalar)
Para multiplicar uma matriz A de dimensão m×n (linhas x colunas) por um vetor B de dimensão n×1 (coluna), seguimos a seguinte regra:
- Cada linha da matriz A é multiplicada pelos elementos correspondentes do vetor B.
- Depois, somamos os produtos para obter o resultado final.
📌 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
A tabela de notas é:
| Candidato | Matemática | Português | Geografia |
|---|---|---|---|
| A | 9 | 6 | 7 |
| B | 8 | 7 | 8 |
| C | 9 | 5 | 6 |
A tabela de pesos é:
| Matéria | Peso |
|---|---|
| Matemática | 3 |
| Português | 2 |
| Geografia | 1 |
Agora aplicamos a multiplicação da matriz das notas pela matriz dos pesos.
🔢 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Para cada candidato, aplicamos a fórmula da média ponderada:
📌 Candidato A:
(9×3)+(6×2)+(7×1)=27+12+7=46
📌 Candidato B:
(8×3)+(7×2)+(8×1)=24+14+8=46
📌 Candidato C:
(9×3)+(5×2)+(6×1)=27+10+6=43
Portanto, a matriz final das notas ponderadas será:
📝 Passo 5: Análise das Alternativas
Agora analisamos as alternativas:
- ❌ Alternativa A – (52, 37, 43)
- Errado! Os valores não correspondem aos cálculos realizados.
- ✅ Alternativa B – (46, 46, 43)
- Correto! Exatamente os valores calculados.
- ❌ Alternativa C – (66, 46, 20)
- Errado! Resultados incorretos, provavelmente erro de cálculo.
- ❌ Alternativa D – Matriz 3×3
- Errado! O resultado deve ser um vetor coluna, não uma matriz quadrada.
- ❌ Alternativa E – Matriz 3×3
- Errado! O formato do resultado não é adequado.
🎯Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 A nota final de cada candidato foi determinada pela multiplicação da matriz de notas pela matriz de pesos, obtendo um vetor coluna.
📌 O resultado final foi (46, 46, 43), que corresponde à alternativa B.
📌 O entendimento correto de multiplicação de matrizes é essencial para resolver problemas desse tipo de maneira eficiente.
