Um casal decidiu aplicar em um fundo de investimentos que tem uma taxa de rendimento de 0,8% ao mês, num regime de capitalização composta.
O valor final F a ser resgatado, depois de n meses, a uma taxa de rendimento mensal x, é dado pela expressão algébrica F = C (1 + x)n, em que C representa o capital inicial aplicado.
O casal planeja manter a aplicação pelo tempo necessário para que o capital inicial de R$ 100 000,00 duplique, sem outros depósitos ou retiradas.
Fazendo uso da tabela, o casal pode determinar esse número de meses.
Para atender ao seu planejamento, o número de meses determinado pelo casal é:
a) 156.
b) 125.
c) 100.
d) 10.
e) 1,5.
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Porcentagem, Função Exponencial, Logaritmos
📊 Nível da Questão: Médio
📝Tema/Objetivo Geral: Aplicar conceitos de juros compostos e logaritmos para determinar o tempo necessário para duplicar um capital financeiro, utilizando tabela de logaritmos.
🎯 Gabarito: C
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O enunciado informa que um casal pretende investir R$ 100.000,00 em um fundo com rendimento de 0,8% ao mês, utilizando capitalização composta. A fórmula dada para o valor final é F = C × (1 + x)^n, e o objetivo do casal é saber por quantos meses o capital deve ficar investido para dobrar de valor.
As palavras-chave são taxa de 0,8%, regime de capitalização composta e duplicar o capital. O uso de logaritmos é necessário para isolar a variável n na equação exponencial.
O objetivo da questão é encontrar o número de meses n necessários para que o valor final seja o dobro do capital inicial.
Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Juros compostos: Quando os rendimentos se acumulam ao capital mês a mês. A fórmula é: F = C × (1 + x)^n,
onde F é o valor final, C é o capital inicial, x é a taxa decimal e n é o tempo (em meses).
📌 Dobrar o capital: Significa que F = 2C.
📌 Taxa de 0,8% ao mês: Em forma decimal, isso equivale a x = 0,008.
📌 Propriedade dos logaritmos: Para resolver a equação exponencial, usamos: log(a^n) = n × log(a)
Esses conceitos permitem transformar uma equação exponencial em uma equação linear e utilizar os valores da tabela fornecida.
Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar os dados da questão.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
O casal deseja saber o tempo necessário para que o capital dobre. Como o capital inicial é C = 100.000, queremos que F = 2C = 200.000. Substituindo na fórmula:
2C = C × (1,008)^n
Eliminando o C dos dois lados da equação:
2 = (1,008)^n
Agora, aplicamos logaritmo dos dois lados:
log(2) = log((1,008)^n)
log(2) = n × log(1,008)
Com base na tabela, temos:
- log(2) = 0,30
- log(1,008) = 0,003
Agora que temos as expressões numéricas, vamos para os cálculos.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Temos a equação:
0,30 = n × 0,003
Isolando n:
n = 0,30 / 0,003
n = 100
Ou seja, o capital dobrará em 100 meses, mantendo-se a taxa de 0,8% ao mês e sem novos aportes.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 156
❌ Muito acima do valor correto.
B) 125
❌ Ainda acima do necessário.
C) 100
✅ Correta! Foi o resultado obtido a partir da equação e uso da tabela de logaritmos.
D) 10
❌ Muito abaixo. Em 10 meses, o capital ainda não teria dobrado com essa taxa.
E) 1,5
❌ Não faz sentido no contexto de capitalização mensal. Totalmente fora da escala.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Para que o capital de R$ 100.000,00 se torne R$ 200.000,00 com uma taxa mensal de 0,8%, foi necessário usar a fórmula dos juros compostos e aplicar logaritmo para encontrar o tempo. A tabela foi essencial para substituir os valores corretamente.
🔍 Resumo Final:
Com uma taxa de 0,8% ao mês, o capital dobra em 100 meses.
Alternativa correta: Letra C.
