Um instituto de pesquisas eleitorais recebe uma encomenda na qual a margem de erro deverá ser de, no máximo, 2 pontos percentuais (0,02).
O instituto tem 5 pesquisas recentes, P1 a P5, sobre o tema objeto da encomenda e irá usar a que tiver o erro menor que o pedido.
Os dados sobre as pesquisas são os seguintes:
O erro “e” pode ser expresso por
em que σ é um parâmetro e N é o número de pessoas entrevistadas pela pesquisa.
Qual pesquisa deverá ser utilizada?
A) P1.
B) P2.
C) P3.
D) P4.
E) P5.
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Estatística Básica, Cálculo de Erro Amostral.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Alternativa D.
Tema/Objetivo Geral: Analisar o erro de uma pesquisa estatística e determinar qual delas satisfaz um limite máximo para esse erro.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 O enunciado apresenta cinco pesquisas (P1 a P5) com dados de σ (desvio-padrão ou parâmetro de variabilidade) e N (número de entrevistados), juntamente com a expressão e < 1,96 × σ / √N para o erro amostral. É preciso verificar qual pesquisa apresenta erro menor que 0,02 (ou seja, 2 pontos percentuais).
📌 Palavras-chave: erro amostral, σ, N, limite de 0,02, fórmula e < 1,96 × σ / √N.
📌 Objetivo: Determinar qual das cinco pesquisas possui o menor erro (abaixo de 0,02) e, portanto, deve ser utilizada.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Erro Amostral: Em estatística, o erro amostral indica a margem de incerteza de uma estimativa.
📌 Fórmula do erro (aproximação para confiança de 95%):
e = 1,96 × σ / √N
- σ: parâmetro de variabilidade da população.
- N: número de entrevistados na amostra.
- 1,96: fator associado ao intervalo de confiança de 95%.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Cada pesquisa P1 a P5 tem valores para σ e N, e a raiz de N (√N) já está dada na tabela. Precisamos checar se 1,96 × σ / √N é menor que 0,02. Se for menor, a pesquisa atende ao requisito.
📌 Devemos, então, calcular esse valor e compará-lo com 0,02 para ver qual pesquisa cumpre o critério.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
🔹 Cálculo do erro = 1,96 × σ / √N em cada pesquisa:
- P1: σ = 0,5, √N = 42
- Erro = 1,96 × 0,5 / 42
- ≈ 0,98 / 42
- ≈ 0,0233
- P2: σ = 0,4, √N = 28
- Erro = 1,96 × 0,4 / 28
- ≈ 0,784 / 28
- ≈ 0,0280
- P3: σ = 0,3, √N = 24
- Erro = 1,96 × 0,3 / 24
- ≈ 0,588 / 24
- ≈ 0,0245
- P4: σ = 0,2, √N = 21
- Erro = 1,96 × 0,2 / 21
- ≈ 0,392 / 21
- ≈ 0,0187
- P5: σ = 0,1, √N = 8
- Erro = 1,96 × 0,1 / 8
- ≈ 0,196 / 8
- ≈ 0,0245
🔹 Comparação com 0,02:
- P1 → 0,0233 (maior que 0,02)
- P2 → 0,0280 (maior que 0,02)
- P3 → 0,0245 (maior que 0,02)
- P4 → 0,0187 (menor que 0,02)
- P5 → 0,0245 (maior que 0,02)
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
🔹 Somente P4 tem erro abaixo de 0,02. Portanto, a pesquisa a ser utilizada é a P4.
✅ Alternativa Correta: D
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio: Cálculo do erro para cada pesquisa com a fórmula e = 1,96 × σ / √N e comparação com 0,02. A única com erro menor que 0,02 é P4.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta: Pesquisa P4 atende à exigência de erro menor que 0,02.
🔍 Resumo Final: A pesquisa a ser utilizada é a P4, que apresenta o erro estimado em torno de 0,0187, menor que 0,02.
