Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida.
Qual deverá ser a forma do adesivo?
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Cone, Tronco de Cone, Planificação de Sólidos)
- Geometria Plana (Setor Circular)
- Visualização Espacial
🎯 Tema/Objetivo Geral: Planificação da superfície lateral de um tronco de cone.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque não envolve nenhum cálculo, mas exige uma habilidade de visualização espacial bem desenvolvida. O aluno precisa “desenrolar” mentalmente a superfície de um objeto 3D para identificar sua forma 2D correspondente, o que pode ser um desafio conceitual.
✅ Gabarito: E
- A alternativa está correta porque a planificação (desenrolar) da superfície lateral de um tronco de cone resulta em um “tronco de setor circular”, que é um setor circular maior com um menor removido da ponta.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“Qual deverá ser a forma do adesivo?”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para identificarmos a forma geométrica 2D do adesivo que reveste perfeitamente a superfície lateral da parte de baixo de um cone (da base até a metade da altura).
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é determinar a forma da planificação da superfície lateral de um tronco de cone.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você já tentou fazer um chapéu de festa em formato de cone? Qual era o formato do papel antes de você enrolá-lo? E se você quisesse fazer um abajur, que é basicamente um cone sem a ponta, como seria o molde do tecido? Pensar nisso é a chave para resolver a questão!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Vamos alinhar os conceitos essenciais para não ter erro:
- Cone Circular Reto: É o formato do sinalizador. Possui uma base em formato de círculo e uma ponta chamada vértice.
- Tronco de Cone (Frustum): É o que acontece quando cortamos um cone com um plano paralelo à sua base. Basicamente, é um “cone sem a ponta”. O adesivo da questão vai cobrir exatamente um tronco de cone, pois vai da base até a metade da altura.
- Planificação de Sólidos: É o ato de “abrir” e “achatar” um objeto 3D para ver como seria sua superfície em 2D. Pense em desmontar uma caixa de sapato e deixá-la plana sobre a mesa. A forma resultante é a planificação.
- Setor Circular: Pense numa “fatia de pizza”. Essa é a forma que obtemos quando planificamos a superfície lateral de um cone inteiro. Os lados retos da fatia correspondem à linha de corte no cone, e a borda curva corresponde ao contorno da base circular do cone.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
O problema nos diz que um adesivo precisa cobrir a “cintura” de um cone, ou seja, a parte de baixo dele. Não é o cone todo, nem só a ponta. É um tronco de cone. A pergunta é: se pegarmos esse adesivo depois de colado e o descolarmos para deixá-lo reto numa mesa, qual será o seu formato?
3.2 Estratégia Geral 📌
A estratégia mais simples é pensar em etapas:
- Primeiro, vamos visualizar a planificação do cone inteiro.
- Depois, vamos visualizar a planificação da “pontinha” do cone que não será coberta pelo adesivo.
- Por fim, vamos “subtrair” a forma da pontinha da forma do cone inteiro para ver o que sobra. O que sobrar será a forma do nosso adesivo.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar nossa estratégia visual.
- Etapa A: A Planificação do Cone Inteiro
- Se o adesivo fosse para cobrir o sinalizador inteiro, desde a base até o vértice, sua forma planificada seria um setor circular perfeito, como o da alternativa D. A ponta do setor seria o vértice do cone, e a borda curva seria o perímetro da base do cone.
- Etapa B: A Parte que NÃO é Coberta
- O enunciado diz que o adesivo vai só até a metade da altura. Isso significa que a metade superior do cone (a “pontinha”) fica de fora.
- Essa pontinha também é um cone, só que menor. Portanto, sua planificação também é um setor circular, porém menor que o do cone inteiro.
- Etapa C: Encontrando a Forma do Adesivo (A Subtração)
- A forma do nosso adesivo é o resultado de pegar a planificação do cone grande e remover a planificação do cone pequeno da ponta.
- Imagine um setor circular grande (a “fatia de pizza” inteira) e você corta a pontinha dele com uma tesoura, seguindo uma linha curva.
- O que sobra? Uma figura com duas laterais retas (que vêm do corte original para abrir o cone) e duas bordas curvas: uma maior (da base do cone original) e uma menor (do corte na metade da altura).
- Essa forma é exatamente a que vemos na alternativa E.
4.2 Verificação Intermediária 📌
A forma que deduzimos tem duas bordas curvas e duas retas, o que corresponde visualmente à alternativa E.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é a Alternativa B (Trapézio). Você poderia pensar que, como a vista frontal de um tronco de cone é um trapézio, sua planificação também seria. Isso está errado! Um trapézio tem 4 lados retos. As bases de um tronco de cone são círculos, então suas bordas planificadas devem ser curvas. Outra armadilha é a Alternativa D, que seria a resposta correta se o cone fosse coberto por inteiro.
4.4 Fechamento e expectativa
O raciocínio nos leva a uma forma com duas bordas curvas e duas retas. Esperamos encontrar exatamente isso nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) Triângulo (🔴) Incorreta. Um triângulo seria a planificação de uma face de uma pirâmide, não de um cone, que tem base circular.
- B) Trapézio (🔴) Incorreta. Um trapézio tem todos os lados retos. Seria a planificação lateral de um tronco de pirâmide de base retangular ou quadrada. As bases do nosso objeto são círculos, gerando bordas curvas.
- C) Forma estranha (🔴) Incorreta. Esta forma não corresponde a nenhuma planificação conhecida de um sólido de revolução simples. A borda superior do adesivo também deveria ser um arco de círculo, e não uma curva “para dentro”.
- D) Setor Circular (🔴) Incorreta. Esta é a planificação do cone inteiro. O problema pede a forma do adesivo que cobre apenas o tronco (a parte de baixo).
- E) Tronco de Setor Circular (🟢) Correta. Esta forma é precisamente o resultado de planificar a superfície lateral de um tronco de cone. É um setor circular maior do qual um menor foi removido da ponta.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A forma do adesivo corresponde à planificação de um tronco de cone. Isso é obtido visualizando a planificação de um cone inteiro (um setor circular) e subtraindo a planificação da ponta (um setor circular menor), resultando na figura da alternativa E.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
O gabarito correto é a alternativa E.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se desta regra visual para o ENEM:
- Cone inteiro desenrolado → Setor Circular (fatia de pizza).
- Tronco de Cone desenrolado → Setor Circular “sem a ponta”.
