Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.
No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante.
O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é:
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Identificação de sólidos como cilindro e tronco de cone)
- Interpretação de Gráficos (Relação entre a inclinação da curva e a taxa de variação)
- Física (Noção de vazão constante)
- Raciocínio Lógico-Quantitativo
🎯 Tema/Objetivo Geral: Análise da relação entre a forma de um recipiente e a taxa de variação da altura de um líquido.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque não exige cálculos com fórmulas, mas sim uma compreensão conceitual profunda sobre como a forma de um recipiente afeta a velocidade com que o nível de um líquido sobe. A análise da concavidade do gráfico é um ponto que pode confundir muitos alunos.
✅ Gabarito: D
- A alternativa está correta porque o gráfico representa fielmente a mudança na velocidade de enchimento: começa lento e acelera (curva para cima), depois se torna constante (reta), e por fim começa rápido e desacelera (curva para baixo).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é:”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para escolhermos o gráfico que melhor representa como a altura (h) do nível da água sobe com o passar do tempo (t), considerando o formato da escultura e que ela é enchida com vazão constante.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é analisar as três seções da escultura (de cima para baixo, na ordem em que são preenchidas) e traduzir como a forma de cada seção afeta a velocidade de subida da água, representando isso em um gráfico h vs t.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você já reparou que ao encher uma taça de vinho ou um copo de milk-shake, o nível parece subir mais rápido perto da boca (que é mais larga) ou perto do fundo (que é mais estreito)? O princípio para resolver esta questão é exatamente esse!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para matar essa questão, precisamos entender a relação entre três coisas: vazão, largura e a velocidade de subida da altura.
- Vazão Constante: Essa é a informação mais importante do enunciado. Significa que a mesma quantidade de volume de água entra na escultura a cada segundo. Pense nisso como um balde de água sendo derramado a cada minuto, sem falhar.
- Relação entre Largura e Velocidade:
- Quando a escultura é LARGA, a água se espalha. A altura (h) sobe LENTAMENTE.
- Quando a escultura é ESTREITA, a água não tem para onde ir, a não ser para cima. A altura (h) sobe RAPIDAMENTE.
- Quando a largura é CONSTANTE (como em um cilindro), a altura (h) sobe com velocidade CONSTANTE.
- Tradução para o Gráfico (h vs t):
- A velocidade com que a altura sobe é representada pela inclinação (slope) do gráfico.
- Sobe LENTAMENTE → Inclinação suave (curva “quase deitada”).
- Sobe RAPIDAMENTE → Inclinação íngreme (curva “quase em pé”).
- Velocidade CONSTANTE → Inclinação constante (é uma LINHA RETA).
- Velocidade AUMENTANDO (acelerando) → Inclinação aumentando (a curva “entorta para cima”, fica côncava para cima 😊).
- Velocidade DIMINUINDO (desacelerando) → Inclinação diminuindo (a curva “entorta para baixo”, fica côncava para baixo 😞).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Vamos contar a “história do enchimento” da ampulheta em três capítulos, de cima para baixo. A torneira está no topo, então a água preenche a escultura nessa ordem. Nossa missão é transformar essa história em um filme, que é o gráfico.
3.2 Estratégia Geral 📌
Nossa estratégia será:
- Analisar a primeira seção (topo) da escultura e determinar o formato do gráfico correspondente.
- Analisar a segunda seção (meio) e fazer o mesmo.
- Analisar a terceira seção (fundo).
- Juntar os três “pedaços” de gráfico e encontrar a alternativa que corresponde à nossa montagem.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos analisar o enchimento, seção por seção, de cima para baixo.
- Capítulo 1: Enchendo o Tronco de Cone Superior
- Formato: Começa LARGO na boca e vai ficando ESTREITO.
- Lógica do Enchimento: A água começa a subir LENTAMENTE (porque tem muito espaço para se espalhar) e, à medida que o recipiente afunila, a altura sobe cada vez mais RÁPIDO. A velocidade está AUMENTANDO.
- Tradução para o Gráfico: A inclinação começa suave e vai ficando cada vez mais íngreme. O gráfico deve ser uma curva côncava para cima (😊).
- Capítulo 2: Enchendo o Cilindro Central
- Formato: A largura é CONSTANTE do início ao fim.
- Lógica do Enchimento: A altura da água sobe com uma velocidade CONSTANTE.
- Tradução para o Gráfico: A inclinação não muda. O gráfico deve ser uma LINHA RETA.
- Capítulo 3: Enchendo o Tronco de Cone Inferior
- Formato: Começa ESTREITO (onde se conecta com o cilindro) e vai ficando LARGO.
- Lógica do Enchimento: A água entra na parte estreita e sobe muito RÁPIDO. Conforme o recipiente alarga, a água se espalha mais e a altura sobe cada vez mais LENTAMENTE. A velocidade está DIMINUINDO.
- Tradução para o Gráfico: A inclinação começa íngreme e vai ficando cada vez mais suave. O gráfico deve ser uma curva côncava para baixo (😞).
4.2 Verificação Intermediária 📌
Montando o filme completo, o gráfico deve ter a seguinte sequência:
- Uma curva côncava para cima.
- Uma linha reta.
- Uma curva côncava para baixo.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha seria confundir a direção das concavidades. Se você pensasse que “afunilando” significa que a velocidade diminui, erraria a primeira parte. Lembre-se sempre: Estreito = Rápido, Largo = Lento. Outra armadilha seria não perceber que um cilindro gera uma linha reta no gráfico h vs t.
4.4 Fechamento e expectativa
Procuramos nas alternativas um gráfico que combine uma curva para cima, uma reta e uma curva para baixo, nesta ordem.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) (🔴) Incorreta. Mostra uma linha reta do início ao fim. Isso só seria verdade se a escultura inteira fosse um cilindro (largura constante).
- B) (🔴) Incorreta. Mostra a sequência: côncavo para baixo, reta, côncavo para cima. É exatamente o oposto do que encontramos. Este seria o gráfico se a ampulheta estivesse sendo enchida por baixo.
- C) (🔴) Incorreta. Mostra apenas uma curva côncava para cima. Ignora completamente que a escultura tem três seções com comportamentos diferentes.
- D) (🟢) Correta. Mostra perfeitamente a sequência que deduzimos: 1º uma curva côncava para cima (a velocidade aumenta), 2º uma linha reta (velocidade constante) e 3º uma curva côncava para baixo (a velocidade diminui).
- E) (🔴) Incorreta. Este gráfico não tem uma linha reta no meio e apresenta uma “quebra” estranha. A transição entre as seções deve ser contínua.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
Analisamos a forma da escultura de cima para baixo (ordem de enchimento) e traduzimos a relação inversa entre a largura e a velocidade de subida da altura para a linguagem dos gráficos. A sequência “largo→estreito”, “constante” e “estreito→largo” corresponde a um gráfico com concavidade para cima, seguido de uma reta e, por fim, concavidade para baixo.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é a D, pois é a única que representa essa sequência de comportamentos.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar:
- Recipiente afunilando (largo → estreito) = Enchimento acelerado = Gráfico côncavo para cima (😊).
- Recipiente alargando (estreito → largo) = Enchimento desacelerado = Gráfico côncavo para baixo (😞).
- Recipiente cilíndrico (constante) = Enchimento constante = Gráfico é uma reta.
