Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original e a pirâmide obtida a partir dele.
Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos.
Os formatos dos sólidos descartados são:
A) todos iguais.
B) todos diferentes.
C) três iguais e um diferente.
D) apenas dois iguais.
E) iguais dois a dois.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Visualização de Sólidos, Cubo, Pirâmide)
- Raciocínio Lógico-Espacial
- Simetria
🎯 Tema/Objetivo Geral: Análise da simetria de um cubo para determinar a congruência dos sólidos resultantes de uma secção.
📊 Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão exige uma forte habilidade de visualização espacial. A principal dificuldade é a inconsistência entre o texto (que descreve cortes em direção às arestas) e a figura (que mostra uma pirâmide formada por cortes em direção aos vértices). Assumindo que a figura é o guia correto, o raciocínio depende da compreensão da simetria total de um cubo.
✅ Gabarito: Alternativa A (Análise Lógica) vs. Alternativa E (Gabarito Oficial Inconsistente).
- Resumo: O problema descreve a remoção de uma pirâmide de base quadrada (ABCD) de um cubo. Os quatro sólidos “descartados” são os tetraedros que ocupam os cantos superiores do cubo. Devido à simetria total de um cubo (lados iguais, ângulos iguais) e ao fato de o vértice da pirâmide (O) ser o centro da face superior, os quatro sólidos de canto resultantes são necessariamente congruentes, ou seja, todos iguais.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Os formatos dos sólidos descartados são…”
O que está sendo pedido?
A questão pede para compararmos os formatos dos quatro sólidos que sobram após a retirada da pirâmide central de dentro do cubo.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é usar as propriedades geométricas de um cubo e a natureza simétrica dos cortes para determinar se os quatro sólidos restantes são iguais, diferentes ou iguais em pares.
🧠 A palavra-chave é CUBO. Um cubo é uma figura perfeitamente simétrica. Se você fizer uma operação idêntica em todos os seus cantos a partir do centro, o que a lógica da simetria nos diz sobre os pedaços que sobram?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Cubo: Um poliedro regular com 6 faces quadradas idênticas, 12 arestas de mesma medida e 8 vértices. É a figura da máxima simetria entre os prismas.
- Simetria Rotacional: Um cubo pode ser rotacionado em 90°, 180° ou 270° em torno de um eixo que passa pelo centro de duas faces opostas, e sua aparência permanecerá a mesma.
- Sólidos Descartados: São os quatro sólidos que sobram nos cantos superiores do cubo. Cada um deles é um tetraedro irregular. Por exemplo, um deles é formado pelos vértices A, O, e os dois vértices da face superior adjacentes ao canto acima de A.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos um bloco de gelo em formato de cubo perfeito. No centro da face de cima, marcamos o ponto O. A partir dos quatro cantos da base (A, B, C, D), fazemos cortes retos até o ponto O. Removemos a pirâmide de gelo do meio. Sobram quatro “pontas” de gelo nos cantos de cima. A pergunta é: essas quatro pontas têm exatamente o mesmo formato e tamanho?
Estratégia Geral 🗺️
- Focar nas premissas: O sólido é um cubo e o ponto O é central.
- Aplicar o princípio da simetria.
- Concluir sobre a congruência dos quatro sólidos resultantes.
- Analisar por que o gabarito oficial (E) contradiz essa lógica.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado (Análise Lógica)
- A Base da Simetria: O enunciado afirma que o sólido original é um cubo. Isso significa que a base ABCD é um quadrado e a altura é igual ao lado da base. Todas as faces laterais são quadrados idênticos.
- A Centralidade do Ponto O: O ponto O é o centro da face superior. Isso significa que ele está à mesma distância de todos os quatro vértices da face superior e também à mesma distância de todas as quatro arestas da face superior.
- A Simetria dos Cortes: Os cortes formam as faces laterais da pirâmide (OAB, OBC, OCD, ODA). Como a base ABCD é um quadrado e o vértice O está exatamente acima do centro da base, as quatro faces triangulares da pirâmide central são triângulos isósceles idênticos.
- A Simetria dos Sólidos Descartados: Os sólidos descartados são os volumes “que sobram” entre as faces da pirâmide e as faces do cubo. Vamos pensar no sólido descartado no canto superior acima do vértice A. Ele é definido pelos cortes OAD e OAB. Agora pense no sólido no canto acima de B, definido pelos cortes OAB e OBC.
- Como o cubo é perfeitamente simétrico, podemos girá-lo em 90° em torno do eixo vertical que passa por O. O canto A se tornará o canto B, o canto B se tornará o C, e assim por diante. A operação de corte é a mesma para todos os cantos.
- Conclusão Lógica: Se a figura inicial (cubo) é perfeitamente simétrica e a operação (corte a partir do centro da tampa até os vértices da base) também é simétrica, os quatro sólidos resultantes (os descartados) devem ser necessariamente idênticos.
Análise Crítica do Gabarito Oficial (E – iguais dois a dois) 🚨
- O gabarito E só seria correto se a simetria do problema fosse quebrada. Isso aconteceria se:
- O sólido original fosse um prisma de base retangular (um paralelepípedo), e não um cubo. Nesse caso, as faces laterais opostas seriam iguais, mas as adjacentes seriam diferentes, resultando em sólidos descartados “iguais dois a dois”.
- O ponto O não fosse o centro, mas estivesse deslocado em uma direção.
- Como o enunciado afirma explicitamente que se trata de um cubo e que O é central, a conclusão lógica de que os quatro sólidos são idênticos é inevitável. O gabarito oficial (E) contradiz as premissas do problema. Portanto, a questão está mal formulada ou seu gabarito está errado. A resposta que melhor se alinha com a lógica matemática é a A.
Passo 5: Análise das Alternativas
🟢 A) todos iguais.
Correta (pela lógica matemática). Esta é a única conclusão consistente com as premissas de que o sólido é um cubo e o ponto O é central. A simetria da figura e da operação garante que os quatro sólidos de canto sejam congruentes.
🔴 B) todos diferentes.
Incorreta. Viola o princípio da simetria.
🔴 C) três iguais e um diferente.
Incorreta. Viola o princípio da simetria.
🔴 D) apenas dois iguais.
Incorreta. Viola o princípio da simetria.
🟡 E) iguais dois a dois.
A que mais confunde (Gabarito Oficial). Seria a resposta correta para um prisma de base retangular, mas não para um cubo. Ao marcar esta alternativa, o aluno estaria ignorando a definição de “cubo” e assumindo uma simetria menor do que a existente.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
A questão descreve a secção de um cubo para formar uma pirâmide inscrita. A análise baseia-se nas propriedades de simetria do cubo. Sendo o sólido inicial um cubo (figura com simetria total em seus lados e ângulos) e o vértice da pirâmide o ponto central da face superior, a operação de corte é simétrica em relação aos quatro cantos. Consequentemente, os quatro sólidos descartados, que são os tetraedros nos cantos superiores, devem ser geometricamente idênticos. Portanto, a resposta logicamente correta é que os sólidos são todos iguais. O gabarito oficial (E) é inconsistente com as premissas do enunciado, pois a condição “iguais dois a dois” só se aplicaria a um sólido com menor simetria, como um prisma de base retangular.
Gabarito Reafirmado (com base na análise correta) 🏅
A alternativa correta, baseada na análise lógica dos dados, é a A.
Resumo Final para Revisão
Em problemas de visualização espacial, a simetria é sua maior aliada. Um cubo é a figura mais simétrica entre os prismas. Uma operação simétrica (como cortar do centro para os vértices) em uma figura simétrica deve produzir resultados simétricos (peças idênticas).
