Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede.
Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212…
O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são:
A) 103 em cada 330.
B) 104 em cada 333.
C) 104 em cada 3 333.
D) 139 em cada 330.
E) 1 039 em cada 3 330.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Números decimais periódicos, Frações geratrizes, Razão e proporção.
📝 Tema/Objetivo Geral:
Converter um número decimal periódico em fração e relacionar com uma razão entre quantidades.
📊 Nível da Questão:
Médio (por exigir domínio de fração geratriz e simplificação de números maiores).
🎯 Gabarito:
A) 103 em cada 330
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📄 A questão apresenta um índice de popularidade dado como o decimal 0,3121212…, e diz que esse valor representa a razão entre admiradores e visitantes no perfil do estudante.
📌 O que está sendo pedido? Determinar quais números inteiros (admiradores e visitantes) representam essa razão.
📌 Objetivo cristalino: Transformar o número decimal periódico em fração irredutível e identificar a alternativa que corresponde a essa razão.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📎 Um número decimal periódico pode ser convertido em fração usando a fração geratriz.
📌 Quando temos um número como 0,3121212…, ele possui:
- Parte não periódica: 3
- Parte periódica: 12
A estratégia é multiplicar por potências de 10 para alinhar os períodos e subtrair as equações.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Chamamos:
x = 0,3121212…
Multiplicando:
10x = 3,121212…
1000x = 312,121212…
Agora, subtraindo:
1000x – 10x = 312,1212… – 3,1212…
990x = 309
x = 309 ÷ 990
Agora simplificamos essa fração.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
🧮 Vamos simplificar 309/990:
Dividindo numerador e denominador por 3:
- 309 ÷ 3 = 103
- 990 ÷ 3 = 330
📌 Resultado final: x = 103 ÷ 330
Logo, a razão entre admiradores e visitantes é 103 em cada 330.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 103 em cada 330 — ✅ correta
B) 104 em cada 333 — ❌ incorreta
C) 104 em cada 3333 — ❌ incorreta
D) 139 em cada 330 — ❌ incorreta
E) 1039 em cada 3330 — ❌ incorreta
✅ Alternativa correta: A
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Convertendo 0,3121212… para fração, obtemos 309/990, que se simplifica para 103/330, representando a proporção entre admiradores e visitantes.
🔍 Resumo Final: O índice de popularidade corresponde a 103 admiradores para cada 330 visitantes.
✅ Gabarito confirmado: A.
