Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6m, é cercado por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente.
O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 100 m² de área.
O síndico do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.
Utilize 3 como aproximação para π.
A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque:
A) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21 m².
B) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24 m².
C) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48 m².
D) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108 m².
E) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120 m².
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Plana (Área do Círculo).
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: ✅ Alternativa E.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
🔹 Análise do Comando:
A questão descreve um círculo pavimentado de diâmetro 6 metros, que será ampliado, aumentando 8 metros no diâmetro. O objetivo é determinar se o material disponível (100 m²) é suficiente para pavimentar essa nova região.
🔹 Palavras-chave:
- “Área de um círculo”
- “Aumento do diâmetro”
- “Material disponível: 100 m²”
🔹 Objetivo:
Calcular a nova área a ser pavimentada e verificar se 100 m² são suficientes.
⚠ Dica Geral: A fórmula para calcular a área de um círculo é A = π ⋅ r².
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔹 Área de um Círculo
A área de um círculo é dada pela fórmula:
A = π ⋅ r²
onde:
- A é a área do círculo.
- r é o raio do círculo.
- π é aproximadamente 3 (conforme indicado na questão).
🔹 Cálculo da Diferença de Áreas
Para encontrar a área adicional a ser pavimentada, devemos calcular a nova área total e subtrair a área já existente.
✔ Conclusão Parcial: Precisamos determinar o raio antes e depois da ampliação para calcular corretamente a diferença de áreas.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
🔹 Dimensões da Área Inicial
- O diâmetro original do círculo era 6 metros, então o raio inicial era: r = 6 ÷ 2 = 3 metros
🔹 Dimensões da Nova Área
- O novo diâmetro é 6 + 8 = 14 metros, logo, o novo raio será: R = 14 ÷ 2 = 7 metros
🔹 Material disponível
A questão informa que há 100 m² de material para pavimentação. Devemos comparar essa quantidade com a diferença entre a nova e a antiga área pavimentada.
✔ Conclusão Parcial: O problema agora se resume ao cálculo da diferença de áreas entre os dois círculos.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
🔹 Área Inicial do Círculo
Usamos a fórmula da área:
A_inicial = π ⋅ r²
Substituindo os valores:
A_inicial = 3 ⋅ 3²
A_inicial = 3 ⋅ 9 = 27 m²
🔹 Área do Círculo Ampliado
A_novo = π ⋅ R²
Substituindo os valores:
A_novo = 3 ⋅ 7²
A_novo = 3 ⋅ 49 = 147 m²
🔹 Área Adicional Necessária
A_extra = A_novo – A_inicial
A_extra = 147 – 27
A_extra = 120 m²
✔ Conclusão Parcial: O material disponível é 100 m², mas a área necessária é 120 m², ou seja, o material não será suficiente.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
Agora, verificamos as opções:
✅ Alternativa E: Não será suficiente, pois a nova área a ser pavimentada mede 120 m². Correta!
❌ Alternativa A: 21 m² → Errado, pois o cálculo correto é 120 m².
❌ Alternativa B: 24 m² → Errado, pois subestima a área adicional necessária.
❌ Alternativa C: 48 m² → Errado, pois o cálculo correto é 120 m².
❌ Alternativa D: 108 m² → Errado, pois a área correta é 120 m².
✅ Alternativa correta: E.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
✔ Conclusão:
A ampliação da área pavimentada aumenta o raio do círculo de 3 metros para 7 metros. O cálculo da diferença de áreas resulta em 120 m², enquanto o condomínio só tem 100 m² disponíveis. Assim, o material não será suficiente.
🔍 Resumo Final:
O síndico precisará de 120 m² de material, mas só possui 100 m². Como o material não é suficiente, a resposta correta é Alternativa E. ✅
