Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6m, é cercado por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente.
O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 100 m² de área.
O síndico do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.
Utilize 3 como aproximação para π.
A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque:
A) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21 m².
B) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24 m².
C) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48 m².
D) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108 m².
E) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120 m².
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Plana: Área do Círculo (
A=π⋅r²). - Aritmética: Subtração e Comparação de Grandezas.
Tema/Objetivo Geral:
- Comparação entre a área total de um novo projeto circular e a área já existente para determinar a quantidade de material extra necessário (área da coroa circular).
Nível da Questão: Médio.
- A questão é classificada como média porque envolve múltiplos passos e uma “pegadinha” clássica: o enunciado dá o aumento do diâmetro (8m), e não o novo diâmetro ou raio. O aluno precisa somar 8 ao diâmetro original, achar os raios, calcular as duas áreas e subtrair. Se esquecer de subtrair a área existente ou usar o diâmetro como raio, erra.
Gabarito: E.
- Área nova a pavimentar = Área do círculo maior (R=7) – Área do círculo menor (r=3).
Aextra=π⋅7²−π⋅3²=3⋅(49−9)=3⋅40=120m².- Como 120 > 100, o material não é suficiente.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão quer saber se 100 m² de piso dão conta do recado. O recado é: pavimentar a diferença entre o círculo novo (grandão) e o círculo velho (pequeno).
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma pizza pequena de 6 pedaços (área existente). Você quer transformar essa pizza numa pizza gigante.
A pergunta não é o tamanho da pizza gigante, mas sim quanta massa extra você precisa adicionar na borda para ela crescer.
Temos massa para 100 pedaços. Se a borda nova precisar de 120 pedaços, vai faltar massa.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Calcular o raio da área antiga (
rvelho). - Calcular o raio da área nova (
rnovo). - Calcular a área da “borda” (Coroa Circular):
Anova−Avelha. - Comparar o resultado com o estoque (100 m²).
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Fórmula da Área do Círculo:
A=π⋅r2
(Dado: π=3)
Atenção ao Diâmetro vs. Raio:
O texto fala em Diâmetro. A fórmula usa Raio.
Raio=Diâmetro/2A Lógica da Ampliação:
- Área Total Nova = Área Velha (já tem piso) + Área Extra (precisa de piso).
- Área Extra = Área Total Nova – Área Velha.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aos números:
1. O Círculo Antigo (Já existe):
- Diâmetro Antigo = 6 m.
- Raio Antigo (
r) =6÷2=3m. - Área Antiga =
π⋅3²=3⋅9=27m².
(Essa parte já está pronta, não gasta material).
2. O Círculo Novo (O Objetivo):
- O texto diz: “aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região”.
- Diâmetro Novo = Diâmetro Antigo + 8.
- Diâmetro Novo =
6+8=14m. - Raio Novo (
R) =14÷2=7m. - Área Total Nova =
π⋅72=3⋅49=147m²
3. A Área a Pavimentar (A Diferença):
Área necessária=147m²(Tudo)−27m²(Já feito).Áreanecessária=120m².
4. O Veredito:
Estoque disponível: 100m².
Necessário: 120m².
Conclusão: Não será suficiente. Faltam 20 m².
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro comum é achar que o raio aumentou 8 metros.
O texto diz que o diâmetro aumentou 8 metros.
- Se Diâmetro aumenta 8
→Raio aumenta 4. - Raio antigo = 3
→Raio novo =3+4=7. (Correto).
Se você somasse 8 ao raio (ficando com raio 11), a conta daria errada.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Precisamos cobrir
120m². Temos100m². Logo, não é suficiente. - Expectativa: “Não será suficiente” + “120 m²”.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) será suficiente, pois a área… mede 21 m².
- O Diagnóstico do Erro: Confusão de Unidades Lineares.
- Cálculo Errado: Talvez calculou a diferença de perímetros ou raios
(7−3=4) e tentou aplicar alguma lógica linear errada. - Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- B) será suficiente, pois a área… mede 24 m².
- O Diagnóstico do Erro: Erro de Multiplicação.
- Cálculo Errado: Talvez calculou
3×8(Pi vezes o aumento do diâmetro). - Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- C) será suficiente, pois a área… mede 48 m².
- O Diagnóstico do Erro: Erro no Raio.
- Cálculo Errado: Calculou a área de um círculo com raio 4 (o aumento do raio)?
π⋅4²=3⋅16=48. A área da coroa não é a área do raio diferença! (R²−r² ≠ (R−r)²). - Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- D) não será suficiente, pois a área… mede 108 m².
- O Diagnóstico do Erro: Erro de Interpretação do Aumento.
- Cálculo Errado: Se o aluno tivesse considerado que o Raio Novo era 6 (dobro do antigo) em vez de 7? Ou erro de aritmética na subtração.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- E) não será suficiente, pois a área… mede 120 m².
- Análise de Correspondência: Perfeito. Área Total (147) – Área Existente (27) = 120. Como 120 > 100, o material falta.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A geometria nos ensina que o crescimento da área é quadrático, não linear: um pequeno aumento no raio gera uma enorme expansão na área. Ao calcularmos a coroa circular de raio 3 a 7, descobrimos uma demanda de 120 m², superando o estoque do condomínio (Alternativa E).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
⭕ Pequeno: 3² x 3 = 27.
🔴 Grande: 7² x 3 = 147.
🍩 Borda (Diferença): 147 – 27 = 120.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com Biologia (Células):
Por que as células são pequenas? Pelo mesmo motivo que faltou piso aqui!
Quando uma célula cresce (aumenta o raio), seu volume (conteúdo) cresce ao cubo, mas sua superfície (membrana) cresce ao quadrado. Rapidamente, a célula tem “muito recheio” (necessidade metabólica) e “pouca borda” (capacidade de absorver nutrientes). O crescimento quadrático/cúbico impõe limites físicos à vida, assim como impôs limites ao orçamento do síndico!
