No alojamento de uma universidade, há alguns quartos com o padrão superior ao dos demais. Um desses quartos ficou disponível, e muitos estudantes se candidataram para morar no local. Para escolher quem ficará com o quarto, um sorteio será realizado. Para esse sorteio, cartões individuais com os nomes de todos os estudantes inscritos serão depositados em uma urna, sendo que, para cada estudante de primeiro ano, será depositado um único cartão com seu nome; para cada estudante de segundo ano, dois cartões com seu nome; e, para cada estudante de terceiro ano, três cartões com seu nome. Foram inscritos 200 estudantes de primeiro ano, 150 de segundo ano e 100 de terceiro ano. Todos os cartões têm a mesma probabilidade de serem sorteados.
Qual a probabilidade de o vencedor do sorteio ser um estudante de terceiro ano?
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/8
d) 2/9
e) 3/8
Resolução em Vídeo
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática Básica (Multiplicação e Soma).
- Probabilidade (Definição clássica: Favoráveis sobre Total).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a probabilidade em um espaço amostral onde os indivíduos têm “pesos” diferentes. O aluno deve diferenciar a quantidade de pessoas da quantidade de chances (cartões) que elas possuem.
Nível da Questão:
Médio.
Justificativa: O cálculo é simples, mas a interpretação exige atenção. A “casca de banana” é calcular a probabilidade baseada no número de alunos (pessoas), esquecendo que o número de cartões na urna é diferente.
Gabarito:
Letra E – 3/8.
Resumo: O 3º ano tem 100 alunos, mas cada um tem 3 cartões, totalizando 300 cartões favoráveis. Somando os cartões de todos os anos (200 + 300 + 300), temos 800 cartões na urna. A chance é 300 dividido por 800, que simplifica para 3/8.
Resolução Passo a Passo
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A Missão:
A questão quer saber a chance (probabilidade) de o ganhador ser do 3º ano.
A regra do jogo é: quanto mais antigo o aluno, mais cartões ele tem na urna.
A Analogia Central (A Rifa Desigual):
Imagine uma rifa.
- O calouro compra 1 bilhete.
- O veterano do meio compra 2 bilhetes.
- O formando compra 3 bilhetes.
A mão que vai entrar na urna não vai pegar uma “pessoa”, vai pegar um bilhete. Por isso, não importa quantas pessoas existem, importa quantos bilhetes existem lá dentro.
A questão quer: (Bilhetes do 3º ano) / (Total de Bilhetes na Urna).
Nosso Plano de Ataque:
- Calcular o número de cartões do 1º ano.
- Calcular o número de cartões do 2º ano.
- Calcular o número de cartões do 3º ano (Favoráveis).
- Somar tudo (Total) e montar a fração da probabilidade.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar a Tabela de Conversão (Alunos para Cartões):
A ferramenta matemática é a multiplicação simples:
Nº de Cartões = (Nº de Alunos) x (Peso do Ano)
Depois, usaremos a fórmula clássica de Probabilidade:
P = Casos Favoráveis / Casos Totais
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos encher a urna virtualmente.
Grupo 1 (Calouros):
- 200 alunos x 1 cartão cada = 200 cartões.
Grupo 2 (Intermediários):
- 150 alunos x 2 cartões cada = 300 cartões.
Grupo 3 (Veteranos – O nosso Alvo):
- 100 alunos x 3 cartões cada = 300 cartões.
Agora, olhe para a Urna Cheia (Espaço Amostral):
Total de cartões = 200 + 300 + 300 = 800 cartões.
O Cálculo da Probabilidade:
Queremos que saia um cartão do Grupo 3.
Quantos cartões do Grupo 3 existem lá? 300.
Quantos cartões existem ao todo? 800.
Fração: 300 / 800.
Cortando os zeros (dividindo por 100):
3 / 8.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a Contagem de Alunos (Letra D)!
Muitos alunos somam o número de pessoas: 200 + 150 + 100 = 450 alunos.
Aí pegam os alunos do 3º ano (100) e dividem pelo total: 100 / 450.
Simplificando, isso dá 2/9. E a alternativa (D) está lá, esperando esse erro!
Lembre-se: O sorteio é de cartões, não de CPFs. Quem tem mais cartões tem mais chance. Você deve contar o papel, não a cabeça.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O 3º ano tem 300 chances num mar de 800 chances.
- Expectativa: A fração 300/800 simplificada para 3/8.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 1/2
- Diagnóstico do Erro: Chute ou erro de soma.
- Análise: 1/2 (50%) significaria que o 3º ano tem metade dos cartões da urna (400 de 800). Mas eles só têm 300.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
b) 1/3
- Diagnóstico do Erro: Confusão de grupos.
- Análise: O aluno pode ter pensado: “São 3 grupos (1º, 2º e 3º ano), então a chance é 1 em 3”. Isso ignora que os grupos têm tamanhos e pesos diferentes.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
c) 1/8
- Diagnóstico do Erro: Mistura de unidades.
- Análise: O aluno pode ter usado o número de alunos (100) dividido pelo número de cartões (800). 100/800 = 1/8. Erro conceitual: numerador e denominador devem estar na mesma unidade (cartões).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
d) 2/9
- Diagnóstico do Erro: O Distrator da População.
- Análise: Como vimos na “Armadilha”, esse valor surge se você calcular a probabilidade baseada no número de pessoas (100 alunos do 3º ano / 450 alunos totais). Isso ignora a regra dos pesos (1, 2 e 3 cartões).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
e) 3/8
- Análise: Perfeito.
- Favoráveis: 100 alunos x 3 = 300 cartões.
- Total: (200×1) + (150×2) + (100×3) = 800 cartões.
- Probabilidade: 300/800 = 3/8.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A probabilidade não é democrática quando o sistema é ponderado. Quem tem mais “peso”, ocupa mais espaço na urna.
Resumo-flash: ⚡
“Não conte as cabeças, conte os papéis: 300 chances em 800 dão 3 oitavos de esperança.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse sistema de “pesos” é usado em sorteios reais, como no Draft da NBA (basquete americano). Os piores times recebem mais “bolinhas” no sorteio para terem mais chance de escolher os melhores jogadores novos. É uma forma matemática de equilibrar (ou desequilibrar) as chances propositalmente.
