Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:
Utilize 1,7 como aproximação para √3
O valor de R, em centímetros, é igual a:
A) 64,0
B) 65,5
C) 74,0
D) 81,0
E) 91,0
Resolução em Texto:
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Espacial, Geometria Plana (triângulo equilátero)
📝 Tema/Objetivo Geral:
Utilizar a geometria de triângulos equiláteros e relações métricas para determinar o raio total necessário de uma circunferência externa que contém outras três menores.
📊 Nível da Questão:
Médio (exige visualização geométrica e uso de fórmula da altura de triângulo equilátero)
🎯 Gabarito:
C) 74,0
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 A figura mostra três canos pequenos de raio 30 cm justapostos, formando um triângulo equilátero entre os centros. Ao redor deles há um cano maior de raio R, separado por um espaçador de 10 cm.
📌 O que está sendo pedido?
O valor do raio R da circunferência maior, considerando que deve haver 10 cm de espaço entre os canos menores e a borda do cano maior.
🎯 Objetivo cristalino:
Determinar o valor de R somando corretamente:
- A distância do centro até a borda externa (parte geométrica),
- O raio do cano menor (30 cm),
- E o espaçador (10 cm).
🛠️ Muita gente olha o desenho e tenta calcular só com regra de três ou proporção. Aqui é necessário aplicar geometria do triângulo equilátero com cuidado!
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔺 Quando três círculos iguais se encostam, os centros deles formam um triângulo equilátero, cujo lado é duas vezes o raio.
📐 A altura do triângulo equilátero de lado L é:
h = (L × √3) / 2
⚙️ No desenho, o centro da circunferência maior está sobre a altura do triângulo. Assim, a distância do centro do triângulo até um vértice é 2/3 da altura.
📌 Então, para obter o raio total R, somamos:
- 10 cm (espaço entre o cano e a borda),
- 30 cm (raio do cano pequeno),
- 2/3 da altura do triângulo formado entre os centros.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
🧮 Vamos calcular:
🔹 Lado do triângulo = 2 × 30 = 60 cm
🔹 Altura do triângulo:
h = (60 × √3) / 2 = 30 × √3
Usando √3 ≈ 1,7 → h = 30 × 1,7 = 51 cm
🔹 Agora, pegamos 2/3 da altura, pois essa é a distância do centro do triângulo até o topo:
2/3 × 51 = 34 cm
📏 Finalmente, somamos:
10 (espaçador) + 30 (raio do cano) + 34 = 74 cm
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Passo a passo:
- Lado do triângulo = 2 × 30 = 60 cm
- Altura do triângulo = 60 × √3 / 2 = 30 × 1,7 = 51 cm
- 2/3 da altura = 51 × 2/3 = 34 cm
- Raio R = 10 + 30 + 34 = 74 cm
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 64,0
B) 65,5
C) 74,0 ✅
D) 81,0
E) 91,0
✅ A alternativa correta é C, pois o valor calculado para R é 74 cm.
❌ As demais opções envolvem distrações como usar só a altura ou confundir a fração da altura a ser usada.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📏 Usamos a geometria do triângulo equilátero para calcular a altura formada pelos centros dos canos e identificamos que a distância do centro ao vértice é 2/3 dessa altura. Somando com o raio do cano menor e o espaçador, chegamos ao valor correto para o raio da circunferência maior.
📌 Resumo Final:
O raio externo R deve ser 10 + 30 + 34 = 74 cm, garantindo o espaçamento necessário. A resposta correta é a alternativa C.
