Uma empresa de transporte faz regularmente um levantamento do número de viagens realizadas durante o dia por todos os 160 motoristas cadastrados em seu aplicativo. Em um certo dia, foi gerado um relatório, por meio de um gráfico de barras, no qual se relacionaram a quantidade de motoristas com a quantidade de viagens realizadas até aquele instante do dia.
Comparando os valores da média, da mediana e da moda da distribuição das quantidades de viagens realizadas pelos motoristas cadastrados nessa empresa, obtém-se
a) mediana = média < moda.
b) mediana = moda < média.
c) mediana < média < moda.
d) moda < média < mediana.
e) moda < mediana < média.
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✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Estatística Descritiva (Média Ponderada, Mediana e Moda).
- Interpretação de Gráficos de Barras.
Tema/Objetivo Geral:
Calcular e comparar as três medidas de tendência central (Média, Mediana, Moda) a partir de dados agrupados em um gráfico de frequência.
Nível da Questão:
Médio.
Justificativa: O cálculo da média ponderada é trabalhoso e propenso a erros aritméticos. O cálculo da mediana exige entender a posição dos dados (80º e 81º termos) em vez de apenas olhar o meio do gráfico.
Gabarito:
Letra E – moda < mediana < média.
Resumo:
Moda = 3 (mais frequente).
Mediana = 4 (valor central).
Média = 4,15 (soma total dividida por 160).
A ordem crescente é: 3 < 4 < 4,15.
Resolução Passo a Passo
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A Missão:
Temos um gráfico que mostra quantas viagens cada motorista fez.
Precisamos calcular três números:
- Moda: O número de viagens mais comum.
- Mediana: O número de viagens do motorista que está exatamente no meio da fila.
- Média: A soma de todas as viagens dividida pelo total de motoristas.
No final, temos que colocar esses três números em ordem crescente.
A Analogia Central (A Fila do Ônibus):
Imagine 160 motoristas numa fila, organizados do que viajou menos para o que viajou mais.
- A Moda é o número que a maioria grita.
- A Mediana é o número que o motorista da posição 80 está segurando.
- A Média é o total de viagens dividido por todo mundo.
Nosso Plano de Ataque:
- Transformar o gráfico em uma Tabela de Frequência.
- Identificar a Moda (olho nu).
- Calcular a Mediana (posição central).
- Calcular a Média Ponderada.
- Comparar os valores.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos traduzir o gráfico para números:
- Eixo Y (Viagens): É o dado (xi).
- Eixo X (Motoristas): É a frequência (fi).
Tabela de Dados:
- 1 viagem: 10 motoristas
- 2 viagens: 10 motoristas
- 3 viagens: 55 motoristas
- 4 viagens: 25 motoristas
- 5 viagens: 0 motoristas (Cuidado! Não pule o 5).
- 6 viagens: 50 motoristas
- 7 viagens: 10 motoristas
- Total de Motoristas (N): 160.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular as medidas uma por uma.
1. A Moda (Mo):
É o valor com a maior barra.
A maior barra vai até o 55 (no eixo X). Ela corresponde a 3 viagens.
Mo = 3
2. A Mediana (Md):
Temos 160 dados. Como é par, a mediana é a média dos termos centrais: o 80º e o 81º.
Vamos acumular as frequências para achar onde eles estão:
- Até 2 viagens: 10 + 10 = 20 pessoas. (Ainda não chegamos no 80).
- Até 3 viagens: 20 + 55 = 75 pessoas. (Quase! O 75º fez 3 viagens).
- Até 4 viagens: 75 + 25 = 100 pessoas.
Opa! Do 76º até o 100º motorista, todos fizeram 4 viagens.
Logo, o 80º e o 81º fizeram 4 viagens.
Md = (4 + 4) / 2 = 4
3. A Média (Me):
Média = (Soma de todas as viagens) / 160
Soma = (1×10) + (2×10) + (3×55) + (4×25) + (5×0) + (6×50) + (7×10)
Soma = 10 + 20 + 165 + 100 + 0 + 300 + 70
Soma = 665 viagens totais.
Média = 665 / 160
Média = 4,156… (Podemos arredondar para 4,15).
Conclusão Detetivesca:
- Moda = 3
- Mediana = 4
- Média = 4,15
Ordem crescente: Moda < Mediana < Média.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a Média Simples!
Muitos alunos somam as viagens (1+2+3+4+5+6+7 = 28) e dividem por 7. Isso daria Média = 4.
Se você fizer isso, vai achar Média = Mediana = 4. E errar a questão.
Você TEM que usar a média ponderada (multiplicar pelo número de motoristas), pois os grupos têm tamanhos diferentes. 55 pessoas fizeram 3 viagens, mas zero pessoas fizeram 5. O peso importa!
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: 3 < 4 < 4,15.
- Expectativa: Moda é a menor, Média é a maior.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) mediana = média < moda.
- Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo na média.
- Análise: 4 = 4,15 < 3. Isso é matematicamente falso (4 não é menor que 3).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
b) mediana = moda < média.
- Diagnóstico do Erro: Confusão nos conceitos.
- Análise: 4 = 3 < 4,15. Falso. A mediana (4) é diferente da moda (3).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
c) mediana < média < moda.
- Diagnóstico do Erro: Inversão de ordem.
- Análise: 4 < 4,15 < 3. Falso. Diz que a média (4,15) é menor que a moda (3).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
d) moda < média < mediana.
- Diagnóstico do Erro: Troca de posição.
- Análise: 3 < 4,15 < 4. Falso. A média (4,15) é maior que a mediana (4), não menor.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
e) moda < mediana < média.
- Análise: Perfeito.
- Moda (3) é menor que Mediana (4).
- Mediana (4) é menor que Média (4,15).
- A relação de desigualdade está correta.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A média é sensível aos extremos. O grupo de 50 motoristas que fez 6 viagens “puxou” a média para cima (4,15), fazendo-a ficar maior que a mediana (4), que é mais estável.
Resumo-flash: ⚡
“Moda é o pop (3), Mediana é o centro (4), Média é a conta exata (4,15): a ordem é crescente.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Em distribuições assimétricas (como salários ou viagens), a Média geralmente é puxada para o lado da cauda longa (os valores mais altos), enquanto a Mediana fica mais resistente. Por isso, quando se fala de salário de um país, a Mediana é um indicador melhor da realidade do povo do que a Média, que é distorcida pelos super-ricos.
