O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB= BC/2 , Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE = AB/5 é lado do quadrado.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele:
A) duplicasse a medida do lado do quadrado.
B) triplicasse a medida do lado do quadrado.
C) triplicasse a área do quadrado.
D) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
E) ampliasse a área do quadrado em 4%.
Resolução em Texto
📚 Matórias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Área de Retângulos e Quadrados)
- Álgebra (Manipulação de Variáveis)
- Matemática Básica (Porcentagem)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Calcular a porcentagem da área de um terreno ocupada por uma construção e determinar qual modificação na área da construção atenderia a uma condição percentual específica.
📊 Nível da Questão: Médio.
Por quê? A questão não fornece valores numéricos, exigindo que o aluno trabalhe inteiramente com variáveis e relações algébricas. É preciso montar expressões para a área do terreno e a área da casa, calcular a porcentagem que a casa ocupa, e depois raciocinar sobre como alterar essa porcentagem para atingir o limite imposto.
✅ Gabarito: Alternativa C.
Resumo: Primeiro, calculamos a área da casa e do terreno em função de uma mesma variável (o lado AB). A área da casa (quadrado de lado AB/5) é de (AB)²/25. A área do terreno (retângulo de lados AB e 2AB) é de 2(AB)². A porcentagem de área preservada é de 98%, o que significa que a área da casa corresponde a 2% do terreno. A condição do governo é que a área de preservação seja de no mínimo 94%, o que significa que a área da casa pode ser de no máximo 6%. Para ir dos atuais 2% para os 6% permitidos, a área da casa precisa ser triplicada.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele…”
O que está sendo pedido?
A questão nos dá uma condição: a área de preservação deve ser de no mínimo 94%. Isso significa que a área da residência pode ser de no máximo 6% da área total. O “limite exato” é, portanto, a casa ocupar 6% do terreno. Primeiro, precisamos calcular qual porcentagem a casa de Antônio ocupa atualmente. Depois, precisamos descobrir o que ele deve fazer para que essa ocupação chegue aos 6% permitidos.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Calcular a porcentagem da área do terreno que a casa de Antônio ocupa hoje.
- Comparar essa porcentagem com o limite máximo de 6%.
- Determinar por quanto a área da casa precisa ser multiplicada para passar da porcentagem atual para a porcentagem limite.
🧠 Se a área de preservação é no mínimo 94%, o que isso significa para a área da construção? Significa que ela pode ser no máximo 100% – 94% = 6%. Entender essa inversão é o primeiro passo.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Área do Retângulo: Base × Altura.
- Área do Quadrado: Lado × Lado = Lado².
- Cálculo de Porcentagem (Parte/Todo): Para saber qual porcentagem uma “Parte” representa de um “Todo”, usamos a fórmula:
% = (Parte / Todo) × 100
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Antônio ganhou um terreno retangular. A regra do governo é clara: “Você pode construir sua casa, mas ela não pode ocupar mais de 6% da área total do seu terreno”. Antônio, então, desenha o projeto de uma casa quadrada. Nossa missão é ser o “fiscal da prefeitura” e fazer duas coisas:
- Fiscalizar o Projeto Atual: Calcular qual a porcentagem do terreno a casa de Antônio está ocupando. Vamos ver se ele está dentro da lei.
- Ajudar Antônio a Otimizar: Se a casa dele estiver ocupando menos que os 6%, vamos dizer a ele o quanto ele pode aumentar a casa para usar todo o espaço a que tem direito.
Estratéia Geral 🗺️
Vamos definir uma variável, calcular a área da casa e a área do terreno em função dessa variável, encontrar a razão percentual entre elas e, por fim, calcular o fator de ampliação necessário.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Definir Variáveis e Relações:
- Vamos chamar o lado AB de x.
- Do enunciado: AB = BC/2 → BC = 2 ⋅ AB = 2x.
- Do enunciado: Lado do quadrado (AE) = AB/5 = x/5.
2. Calcular a Área do Terreno Total (A_terreno):
- O terreno é um retângulo de lados AB e BC.
- A_terreno = AB ⋅ BC = x ⋅ (2x)
- A_terreno = 2x²
3. Calcular a Área da Casa Atual (A_casa):
- A casa é um quadrado de lado AE.
- A_casa = (AE)² = (x/5)²
- A_casa = x² / 25
4. Calcular a Porcentagem da Área que a Casa Ocupa Atualmente:
- % Ocupada = (A_casa / A_terreno) × 100
- % Ocupada = ( (x² / 25) / (2x²) ) × 100
- Podemos cancelar o x²:
% Ocupada = ( (1 / 25) / 2 ) × 100
% Ocupada = (1 / 50) × 100
% Ocupada = 2%
5. Analisar a Situação:
- A casa de Antônio ocupa 2% da área do terreno.
- A área de preservação é 100% – 2% = 98%.
- A condição era manter no mínimo 94% de preservação. Como 98% > 94%, o projeto de Antônio está dentro da lei, com folga.
6. Calcular a Modificação para Atingir o Limite:
- O limite exato é 94% de preservação, o que significa que a casa pode ocupar até 6% da área total.
- Atualmente, a casa ocupa 2%.
- Para passar de 2% para 6%, a área da casa precisa ser multiplicada por quanto?
Fator de Ampliação = (Porcentagem Desejada) / (Porcentagem Atual)
Fator de Ampliação = 6% / 2% = 3 - Conclusão: Antônio precisa triplicar a área do quadrado.
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é confundir “triplicar o lado” com “triplicar a área”. Se Antônio triplicasse o lado do quadrado (Alternativa B), a nova área seria (3 . Lado)² = 9 . Lado², ou seja, a área seria 9 vezes maior, não 3. Isso ocuparia 9 . 2% = 18% do terreno, o que violaria a regra do governo.
Fechamento e Expectativa
A análise nos mostra que a área da casa precisa ser multiplicada por 3.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) duplicasse a medida do lado do quadrado.
Isso tornaria a área 2² = 4 vezes maior (ocuparia 8% do terreno), ultrapassando o limite de 6%.
🔴 B) triplicasse a medida do lado do quadrado.
Isso tornaria a área 3² = 9 vezes maior (ocuparia 18% do terreno), ultrapassando muito o limite.
🟢 C) triplicasse a área do quadrado.
Correta. Triplicar a área da casa faria com que ela passasse de 2% para 6% da área total, atingindo exatamente o limite permitido (deixando 94% de área de preservação).
🔴 D) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
Isso não tem relação com o fator 3 que encontramos.
🔴 E) ampliasse a área do quadrado em 4%.
Uma ampliação de 4% sobre os 2% atuais levaria a uma área de 2% . 1,04 = 2,08%. Muito longe dos 6% necessários.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
Primeiro, calculamos a área do terreno e da casa em função de uma variável ‘x’ (lado AB). A área do terreno é 2x² e a área da casa é x²/25. A razão entre a área da casa e a do terreno é de (x²/25) / (2x²) = 1/50, o que corresponde a 2% da área total. A condição do governo permite uma construção de até 6% da área (para preservar 94%). Para que a área da casa passe dos 2% atuais para os 6% permitidos, ela precisa ser multiplicada por 3 (6% / 2% = 3). Portanto, Antônio precisa triplicar a área do quadrado.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão
Lembre-se da diferença crucial: aumentar o lado de um quadrado por um fator k aumenta a sua área por um fator k². A questão pedia para aumentar a área por um fator de 3, o que é diferente de aumentar o lado por um fator de 3.
