A classificação de um país no quadro de medalhas olímpicas deve-se primeiro ao número de medalhas de ouro que o país conquistou. Em caso de empate no número de medalhas de ouro, passa a ser considerado o número de medalhas de prata e, por fim, o de medalhas de bronze. O quadro de medalhas a seguir apresenta os países classificados do 9º ao 11º lugar nas Olimpíadas de Londres, realizadas em 2012.
Nessa olimpíada, o Brasil obteve 3 medalhas de ouro, 5 de prata e 9 de bronze, classificando-se em 22º lugar no quadro geral de medalhas.
Disponível em: http://olimpiadas.uol.com.br. Acesso em: 28 fev. 2013 (adaptado).
Supondo que o número de medalhas dos demais países permaneça inalterado, qual o número mínimo de medalhas que o Brasil deveria ter ganhado a mais nas Olimpíadas de Londres a fim de ficar exatamente na 10ª posição?
A) 22
B) 19
C) 17
D) 16
E) 14
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Raciocínio Lógico e Operações Básicas).
Interpretação de Critérios Hierárquicos.
Tema/Objetivo Geral:
Calcular o número mínimo de elementos (medalhas) necessários para alterar a classificação em um ranking baseado em critérios de desempate sequenciais (Ouro > Prata > Bronze).
Nível da Questão
Médio.
A questão exige atenção redobrada aos critérios de “ficar exatamente na 10ª posição”. O aluno precisa entender que ultrapassar o 10º colocado (Austrália) não pode significar ultrapassar também o 9º (Hungria). É um jogo de ajuste fino.
Gabarito
Letra D.
O Brasil precisa de +4 ouros (para empatar com a Austrália em 7) e +12 pratas (para ultrapassar a Austrália, chegando a 17). Total: 16 medalhas.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O Brasil está lá embaixo (22º). Queremos subir para o 10º lugar.
Para isso, temos que ganhar da Austrália (que é a atual 10ª).
Mas tem um detalhe: não podemos ganhar demais a ponto de passar a Hungria (9ª), senão ficaríamos em 9º (e a questão pede exatamente a 10ª posição).
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma fila onde quem tem mais notas de R$ 100 (ouro) fica na frente. Se empatar, conta quem tem mais notas de R$ 50 (prata).
- Hungria: 8 notas de 100.
- Austrália: 7 notas de 100 e 16 notas de 50.
- Brasil: 3 notas de 100 e 5 notas de 50.
Você quer entrar na frente da Austrália, mas sem passar a Hungria.
Quantas notas você precisa pegar a mais?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Ajustar o Ouro: Chegar perto da Austrália sem passar a Hungria.
- Ajustar a Prata: Se empatarmos no ouro, precisamos ganhar na prata.
- Somar tudo: Ver quantas medalhas novas foram necessárias.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Precisamos da Lógica de Ordenação Lexicográfica (Ordem de Dicionário).
Regra do Jogo:
- Ouro Manda: Quem tem mais, ganha.
- Prata Desempata: Só importa se os Ouros forem iguais.
- Bronze é Detalhe: Só importa se Ouros e Pratas forem iguais.
Alvo (Austrália): 7 Ouros / 16 Pratas.
Limite (Hungria): 8 Ouros.
Estratégia: Se o Brasil chegar a 8 ouros, ele empata com a Hungria. Como o Brasil já tem 5 pratas (e a Hungria só 4), o Brasil passaria a Hungria e seria 9º. Isso não pode!
Conclusão: O Brasil deve parar em 7 Ouros e ganhar na Prata.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular o “pacote de medalhas” necessário:
Passo A: O Ouro
- Brasil Atual: 3.
- Meta: Empatar com a Austrália (7).
- Cálculo:
7−3=47−3=4medalhas de Ouro necessárias.
Passo B: A Prata
Agora que Brasil e Austrália têm 7 ouros, o desempate é na Prata.
- Austrália: 16 Pratas.
- Para ganhar, o Brasil precisa de, no mínimo, 17 Pratas.
- Brasil Atual: 5.
- Cálculo:
17−5=1217−5=12medalhas de Prata necessárias.
Passo C: O Bronze
Com 7 Ouros e 17 Pratas, o Brasil já ganhou da Austrália (7 Ouros e 16 Pratas). O Bronze é irrelevante. Não precisamos gastar esforço aqui.
- Medalhas de Bronze necessárias: 0.
Passo D: A Soma Total
Quantas medalhas o Brasil teve que ganhar “a mais”?
Total = (Ouros extras) + (Pratas extras)
Total = 4 + 12
Total = 16.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Tentar ganhar no bronze.
Muitos alunos pensam: “Vou empatar no ouro (4 a mais), empatar na prata (11 a mais) e ganhar no bronze”.
Isso daria:
4 + 11 + (bronzes para passar de 12).
O Brasil já tem 9 bronzes, precisaria de 13 (4 a mais).
Conta do aluno:
4 + 11 + 4 = 19. (Letra B).
Por que está errado? Porque a questão pede o número mínimo.
Ganhar 12 pratas (total 16 medalhas) é mais “barato” do que ganhar 11 pratas e 4 bronzes (total 19 medalhas).
No critério olímpico, uma prata vale mais que infinitos bronzes. É melhor resolver logo na prata.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Igualar o Ouro (7) e superar a Prata por 1 unidade (17).
- Expectativa: O número 16.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 22.
Diagnóstico do Erro: Excesso de cálculo.
Análise: Talvez o aluno tentou passar a Hungria ou fez alguma conta somando os bronzes desnecessariamente.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 19.
Diagnóstico do Erro: Estratégia ineficiente (Uso do Bronze).
Análise: O aluno empatou o ouro (+4), empatou a prata (+11) e tentou ganhar no bronze (precisaria de +4 para chegar a 13 e passar os 12 da Austrália). Total 19. Funciona? Sim. É o mínimo? Não.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 17.
Diagnóstico do Erro: Erro de conta.
Análise: Valor próximo, mas matematicamente incorreto para a combinação ótima.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 16.
Análise de Correspondência: Perfeita.
Análise: É a soma exata dos 4 ouros necessários para empatar a categoria principal e das 12 pratas necessárias para vencer a categoria secundária.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) 14.
Diagnóstico do Erro: Subestimativa.
Análise: Valor insuficiente para cobrir a diferença de pratas (que é grande, de 5 para 16).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A alternativa D é a correta pois representa a estratégia mais econômica: empatar no critério mais forte (Ouro) e vencer logo no critério seguinte (Prata), evitando a necessidade de acumular medalhas de Bronze.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Para passar o 10º: Iguale o Ouro, vença na Prata.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse tipo de ordenação é a base de Algoritmos de Classificação em computação (como o “Sort” do Excel). Quando você pede para ordenar uma planilha por “Data” e depois por “Nome”, o computador faz exatamente isso: primeiro olha a data; se for igual, olha o nome. Entender essa hierarquia é crucial para programação e banco de dados.
