O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm.
Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa.
Considere 1,7 como aproximação para √3.
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a
A) 18
B) 26
C) 30
D) 35
E) 60
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Geometria Plana (Triângulo Equilátero, Circunferência Circunscrita)
Nível da Questão: Médio (ENEM)
Gabarito: A) 18
Tema/Objetivo Geral: Calcular o raio da circunferência que circunscreve um triângulo equilátero de lado 30 cm e, assim, escolher o tampo circular de menor raio que cubra completamente essa base triangular.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Retomar o Comando da Questão
📌 “O proprietário … deseja adquirir … o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa.”
1.2 O que está sendo pedido?
📌 Determinar o raio mínimo do círculo que circunscreve o triângulo equilátero de lado 30 cm.
1.3 Objetivo Cristalino
📌 Calcular o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, pois esse será o menor tampo circular capaz de apoiá-lo totalmente.
1.4 Identificação de Palavras‐Chave
📌 “triângulo equilátero lado = 30 cm”, “raios disponíveis: 18, 26, 30, 35, 60 cm”, “menor diâmetro suficiente”.
1.5 ✔ Pergunta de Atenção
Você lembra que, em um triângulo equilátero, o centro da circunferência circunscrita situa-se a 2/3 da altura medida desde a base até o vértice?
🔹 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Altura do triângulo equilátero
- A altura hh de um equilátero de lado ll é dada por
h = (l × √3) / 2.
2.2 Raio da circunferência circunscrita
- O raio RR dessa circunferência é
R = (2/3) × h.
2.3 Aproximação necessária
- Use √3 ≈ 1,7 para facilitar o cálculo manual.
❓ Dúvida Comum
“Por que usamos 2/3 de hh e não 1/2 ou outro valor?”
✔ Porque o centro da circunferência circunscrita em um equilátero divide sua altura na razão 2:1, ficando a 2/3 do vértice até a base.
🔹 Passo 3: Tradução e Interpretação dos Dados
- Lado l=30l = 30 cm.
- Altura hh calculada pelo produto de ll e 3√3, dividido por 2.
- Raio buscado RR = 2/3 de hh.
- Em seguida, compararemos RR com os raios disponíveis e escolheremos o menor maior ou igual a RR.
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
- Calcular a altura
h = (30 × 1,7) / 2 = 51 / 2 = 25,5 cm. - Calcular o raio circunscrito
R = (2/3) × 25,5 = 51 / 3 = 17,0 cm. - Escolher o raio disponível
O menor raio comercializado que satisfaz R ≥ 17,0 cm é 18 cm.
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas
A) 18 cm → Atende ao requisito (18 ≥ 17) e é o menor disponível.
B) 26 cm → Satisfaz, mas não é o menor.
C) 30 cm → Satisfaz, porém muito maior que o necessário.
D) 35 cm → Raio excessivo para a base triangular.
E) 60 cm → Desperdício de material e custo.
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
📌 Em um triângulo equilátero de lado 30 cm, a altura vale 25,5 cm e o raio da circunferência que o circunscreve é 17,0 cm.
6.2 Alternativa Correta
✅ A) 18
6.3 🔍 Resumo Final
Para garantir que o tampo cubra toda a base triangular, seu raio deve ser pelo menos o raio circunscrito ao triângulo — logo, escolhe-se o menor raio disponível que supere esse valor, isto é, 18 cm.
