Um novo condomínio foi construído na Rua X. Alguns lotes já receberam numeração da prefeitura, enquanto outros apresentam apenas o sobrenome do seu proprietário. O servidor da prefeitura numerará os lotes que ainda não foram numerados. Para isso, ele observa o padrão da numeração já existente, conforme apresentado na figura, percebendo que, em cada lado da rua, as sequências das numerações formam progressões aritméticas, e, com isso, atribui um número ao lote da família Costa.
O número atribuído ao lote da família Costa é
A) 51.
B) 73.
C) 95.
D) 117.
E) 161.
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Progressões Aritméticas (PA) e raciocínio matemático básico.
Nível da Questão: Médio
Gabarito: C (95)
Tema/Objetivo Geral: Identificar o termo faltante em uma sequência numérica (PA), com aplicação em um contexto de numeração de lotes.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
“O lote da família Costa deve receber um número de acordo com o padrão da numeração existente, sabendo-se que, em cada lado da rua, as sequências formam progressões aritméticas.”
🔹 Explicação Detalhada:
O enunciado informa que os lotes de cada lado da rua seguem progressões aritméticas. Na parte superior, há 5 posições:
- Costa (sem número),
- Pereira (sem número),
- 139,
- Dias (sem número),
Queremos encontrar o número que cabe ao lote “Costa”.
📌 Identificação de Palavras-Chave:
- “Sequência”
- “Progressão aritmética”
- “Padrão da numeração já existente”
📌 Definição do Objetivo:
Calcular o valor numérico que corresponde ao lote “Costa” com base na PA da parte superior da rua.
→ Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos explicar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
📌 Conceitos Teóricos Essenciais:
- Progressão Aritmética (PA): É uma sequência em que cada termo (após o primeiro) é obtido adicionando uma razão constante (r) ao termo anterior.
- Termo Geral de uma PA: Se a1 é o primeiro termo e r é a razão, então o n-ésimo termo (an) é a1 + (n − 1) × r.
→ Com esses conceitos em mente, prossigamos para a interpretação do texto.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
No lado superior da rua, há 5 posições, formando uma PA. Sabemos que o 3º termo é 139 e o 5º termo é 183. Precisamos descobrir o 1º termo (Costa).
📌 Identificação de Frases-Chave:
- “… as sequências das numerações formam progressões aritméticas.”
- “… em cada lado da rua … 5 lotes na parte de cima: Costa, Pereira, 139, Dias, 183.”
📌 Relação com os Conteúdos:
Devemos aplicar a lógica de PA para encontrar o termo desconhecido.
→ Agora que o texto foi interpretado, vamos desenvolver o raciocínio para a resolução completa.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
📌 Resolução Completa:
- Identificar termos conhecidos:
- 3º termo da PA: 139
- 5º termo da PA: 183
- Expressar esses termos em função do primeiro termo (Costa) e da razão (r):
- 3º termo = a1 + (3 − 1) × r = a1 + 2r
- 5º termo = a1 + (5 − 1) × r = a1 + 4r
- Substituir os valores dados:
- Para o 3º termo: a1 + 2r = 139
- Para o 5º termo: a1 + 4r = 183
- Encontrar a razão (r):
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(a1 + 4r) − (a1 + 2r) = 183 − 139
a1 + 4r − a1 − 2r = 44
2r = 44
r = 22 - Calcular a1 (número do lote Costa):
- Pela equação do 3º termo: a1 + 2 × 22 = 139
- a1 + 44 = 139
- a1 = 95
→ Com o raciocínio desenvolvido, vamos analisar as alternativas apresentadas.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita das Alternativas:
A) 51
B) 73
C) 95
D) 117
E) 161
✅ Justificativa da Alternativa Correta (C):
O cálculo mostra que o valor de a1 (Costa) é 95, portanto a alternativa correta é C.
❌ Análise das Alternativas Incorretas:
- A, B, D, E não correspondem ao primeiro termo resultante do cálculo da PA.
→ Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Aplicando a propriedade de PA, determinamos a razão (22) entre os termos e encontramos o primeiro termo como 95.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
A resposta correta é 95, correspondente à Alternativa C.
🔍 Resumo Final:
O lote da família Costa deve receber o número 95, pois, seguindo a progressão aritmética identificada, esse é o primeiro termo (a1) que resulta na coerência com os valores 139 e 183 nos 3º e 5º termos, respectivamente.
