Uma faculdade oferece dois cursos diferentes na área de Humanas. Para um aluno ingressar nesses cursos, o vestibular contém questões objetivas e uma redação, e a nota final do candidato é a soma dessas notas, utilizando o seguinte critério de pesos:

• questões objetivas: peso 1 para o curso I e peso 1 para o curso II;

• redação: peso 2 para o curso I e peso 3 para o curso II.

Um candidato que concorre aos dois cursos obteve nota X nas questões objetivas e nota Y na redação. Para analisar sua nota para o curso I e para o curso II, o candidato representa sua nota com um produto de matrizes A . B, em que a matriz A representa os pesos, e a matriz B contém as notas obtidas pelo candidato.

A matriz resultante A . B é uma matriz coluna, em que, na primeira linha, tem sua nota final para o curso I e, na segunda linha, tem sua nota final para o curso II. Nessas condições, qual representação algébrica gera o resultado final desse candidato nos dois cursos?

Resolução em texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Álgebra Linear (Multiplicação de Matrizes)

Nível da Questão: Médio

Gabarito: A

Tema/Objetivo Geral: Representar, por meio do produto de matrizes, a nota final de um candidato em dois cursos diferentes, dados os pesos para prova objetiva (x) e redação (y).

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Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

📌 Retomada do Comando:
O enunciado informa que, para o Curso I, a prova objetiva tem peso 1 e a redação tem peso 2; para o Curso II, a prova objetiva tem peso 1 e a redação tem peso 3. O candidato obteve nota x na prova objetiva e y na redação. Deseja-se representar, por meio de um produto de matrizes, a nota final para cada curso em uma matriz coluna com duas linhas:

• Primeira linha: Nota final para o Curso I
• Segunda linha: Nota final para o Curso II

🔹 Explicação Detalhada:
Precisamos montar uma matriz de pesos e uma matriz coluna de notas, cujo produto dê duas somas ponderadas:

1. (x) + 2(y) para o Curso I
2. (x) + 3(y) para o Curso II

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Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários

📌 Conceitos Teóricos Essenciais:

1. Matriz de Notas (x / y):
   • Interpretada como uma coluna, em que a primeira entrada é x (prova objetiva) e a segunda é y (redação).
2. Matriz de Pesos (2×2):
   • Primeira linha (Curso I): pesos 1 (objetiva), 2 (redação).
   • Segunda linha (Curso II): pesos 1 (objetiva), 3 (redação).
3. Multiplicação de Matrizes (2×2) × (2×1) → (2×1):
   • Cada linha da matriz de pesos, ao multiplicar a coluna de notas, gera a soma ponderada específica.

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Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto

📌 Análise do Contexto:

• O produto deve resultar em duas linhas, representando a nota final do candidato em cada curso.
• A primeira linha corresponde a (1 × x + 2 × y).
• A segunda linha corresponde a (1 × x + 3 × y).

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Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio

📌 Resolução Completa:

1. Matriz de Pesos (2×2):

( 1   2 )
( 1   3 )

2. Matriz de Notas do Candidato (x / y):

( x )
( y )

3. Produto das Matrizes:

( 1   2 )   ( x )
( 1   3 ) . ( y )

• Primeira linha: 1 × x + 2 × y → Nota para Curso I
• Segunda linha: 1 × x + 3 × y → Nota para Curso II

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Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução

A forma correta que gera a nota final do candidato para ambos os cursos é:

( 1   2 )
( 1   3 )

. ( x / y )

Isso corresponde à Alternativa A no enunciado original.

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Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

📌 Resumo do Raciocínio:

• Para o Curso I: peso 1 para x, 2 para y.
• Para o Curso II: peso 1 para x, 3 para y.
• Multiplicando a matriz de pesos pela coluna (x / y), obtemos as duas somas ponderadas necessárias.

📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
A Alternativa A representa corretamente o produto de matrizes que gera a nota final para cada curso:

( 1   2 )
( 1   3 )

. ( x / y )

Resposta: Alternativa A.