As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:
A) menor que 100 m²
B) entre 100 m² e 300 m²
C) entre 300 m² e 500 m²
D) entre 500 m² e 700 m²
E) maior que 700 m²
Resolução em Texto:
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Espacial (Prismas), Trigonometria
📝 Tema/Objetivo Geral:
Aplicar razão trigonométrica e cálculo de área para determinar o espaço ocupado por uma estrutura inclinada.
📊 Nível da Questão:
Médio (porque exige interpretação geométrica, uso de fórmula trigonométrica e atenção ao modelo espacial do prisma)
🎯 Gabarito:
E) maior que 700 m²
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 A imagem mostra uma torre inclinada da Puerta de Europa, com 114 metros de altura, formando um ângulo de 15° com a vertical. A base dessa torre é quadrada e a questão quer saber quanto espaço essa base ocupa no chão, ou seja, a área da base projetada na avenida.
📌 O que está sendo pedido?
O valor da área da base quadrada do prédio, considerando o quanto a inclinação o faz “avançar” no solo.
🎯 Objetivo cristalino:
Usar a tangente do ângulo de inclinação para descobrir o lado da base, e com isso calcular área = lado × lado.
🤨 Já reparou que, por estar inclinada, a torre ocupa mais chão do que se estivesse reta? É justamente esse avanço horizontal que vamos descobrir com trigonometria!
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🧠 A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto (nesse caso, o avanço horizontal da torre) e o cateto adjacente (a altura da torre).
📐 Fórmula básica:
tg(θ) = cateto oposto / cateto adjacente
📌 Aqui, a tangente de 15° nos ajuda a descobrir o quanto a torre avança no chão:
- Altura = 114 m
- tg(15°) ≈ 0,26
- Avanço horizontal = lado da base quadrada
📦 Como a base é um quadrado, basta usar:
Área = lado × lado
😵 Está se perguntando se não deveria usar seno ou cosseno? Não! Como queremos o “avanço horizontal”, e temos o ângulo com a vertical, a tangente é a relação mais direta e eficaz aqui.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
🔍 A torre forma um triângulo retângulo com:
- o cateto vertical de 114 m (altura),
- o cateto horizontal (deslocamento no solo),
- e o ângulo de 15° entre a torre e a vertical.
📊 Com a equação:
tg(15°) = lado / 114
e sabendo que tg(15°) ≈ 0,26, substituímos direto na fórmula.
🤔 Você percebe como essa base quadrada está diretamente relacionada ao avanço horizontal da torre por causa da inclinação?
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
🧮 Vamos resolver:
0,26 = lado / 114
Multiplicando ambos os lados por 114:
lado = 0,26 × 114 = 29,64 metros
📐 Como a base é quadrada:
Área = 29,64 × 29,64 = 878,50 m²
🚧 Esse é o espaço horizontal que a base da torre ocupa na avenida.
😲 Pode parecer muito, mas lembre-se: quanto maior a inclinação, maior o “deslocamento” da base — e, portanto, maior a área ocupada no solo!
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📋 Vamos revisar as opções:
A) menor que 100 m²
B) entre 100 m² e 300 m²
C) entre 300 m² e 500 m²
D) entre 500 m² e 700 m²
E) maior que 700 m² ✅
✅ A alternativa correta é E, já que a área calculada foi de 878,50 m².
❌ As demais opções não fazem sentido para quem aplicou corretamente a tangente e elevou o lado ao quadrado. Um erro comum seria esquecer de fazer a potência ou confundir as relações trigonométricas.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
🏁 A torre, inclinada 15° em relação à vertical, tem 114 m de altura. Usamos a tangente para calcular o lado da base quadrada (29,64 m) e, a partir disso, obtivemos a área que ela ocupa no solo: 878,50 m². Isso confirma que o espaço ocupado pela torre é maior que 700 m².
🧾 Resumo Final:
A questão exigia a aplicação da tangente para transformar uma inclinação em avanço horizontal e, com isso, calcular a área da base quadrada do prédio. O resultado final confirma a alternativa E como correta.
