Um projetista deseja construir um brinquedo que lance um pequeno cubo ao longo de um trilho horizontal, e o dispositivo precisa oferecer a opção de mudar a velocidade de lançamento. Para isso, ele utiliza uma mola e um trilho onde o atrito pode ser desprezado, conforme a figura.
Para que a velocidade de lançamento do cubo seja aumentada quatro vezes, o projetista deve
a) manter a mesma mola e aumentar duas vezes a sua deformação.
b) manter a mesma mola e aumentar quatro vezes a sua deformação.
c) manter a mesma mola e aumentar dezesseis vezes a sua deformação.
d) trocar a mola por outra de constante elástica duas vezes maior e manter a deformação.
e) trocar a mola por outra de constante elástica quatro vezes maior e manter a deformação.
Resolução em texto📖
📚Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Mecânica
- Energia mecânica (cinética e potencial elástica)
- Lei da conservação de energia
📊Nível da Questão:
- Médio.
✅Gabarito: Letra B – Manter a mesma mola e aumentar quatro vezes a sua deformação.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da questão:
A questão apresenta um sistema conservativo onde um pequeno cubo é lançado por uma mola comprimida. O objetivo do projetista é aumentar a velocidade do cubo em quatro vezes e, para isso, precisa modificar um parâmetro do sistema. Precisamos descobrir:
- Como a energia da mola influencia a velocidade do cubo.
- Qual a relação entre a deformação da mola e a velocidade do cubo.
- Qual mudança no sistema levaria ao aumento desejado na velocidade.
🔑Palavras-chave:
- Energia potencial elástica → Energia acumulada na mola devido à compressão.
- Energia cinética → Energia do movimento do cubo ao ser lançado.
- Conservação da energia mecânica → A energia total do sistema se mantém constante.
🎯Objetivo da questão:
Avaliar o entendimento da conservação da energia mecânica em um sistema envolvendo uma mola e um corpo que é lançado por ela.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
⚖️ Conservação da Energia Mecânica:
Nesta questão, temos um sistema conservativo, o que significa que toda a energia inicial se transforma em outra forma de energia, sem perdas.
Aqui, a mola armazenará energia potencial elástica 🌀 quando comprimida e depois converterá essa energia em energia cinética 🚀 do cubo no momento do lançamento.
🌀 Energia Potencial Elástica (Eₑ)
A energia acumulada pela mola quando comprimida é dada por:
Eₑ = (k × x²) / 2
Onde:
- k → Constante elástica da mola (rigidez da mola).
- x → Compressão da mola (o quanto ela é comprimida antes do lançamento).
🚀 Energia Cinética (Eₖ)
Quando a mola solta o cubo, a energia armazenada é transferida para o movimento do cubo, sendo convertida em energia cinética. Essa energia é dada pela equação:
Eₖ = (m × v²) / 2
Onde:
- m → Massa do cubo.
- v → Velocidade do cubo ao ser lançado.
Passo 3: Desenvolvimento do raciocínio
⚖️ Aplicação da Conservação de Energia
Como não há atrito, podemos dizer que toda a energia potencial elástica se transforma em energia cinética:
(k × x²) / 2 = (m × v²) / 2
Vamos resolver essa equação passo a passo:
📌 Passo 1: Eliminar os denominadores
Podemos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para eliminar os denominadores:
k × x² = m × v²
Agora temos uma equação mais simples, sem frações.
📌 Passo 2: Isolar v²
Nosso objetivo é encontrar v (velocidade). Para isso, isolamos v² dividindo ambos os lados por m:
v² = (k / m) × x²
📌 Passo 3: Tirar a raiz quadrada dos dois lados
Para encontrar v, aplicamos a raiz quadrada:
v = √(k / m) × x
📌 Passo 4: Analisando o resultado
A equação final nos diz que a velocidade é diretamente proporcional à compressão da mola. Isso significa que:
✔ Se aumentarmos x (compressão) em 2 vezes, a velocidade também dobra.
✔ Se aumentarmos x em 4 vezes, a velocidade quadruplica.
Ou seja, para quadruplicar v, devemos quadruplicar x! 🚀
Agora, com essa equação bem detalhada, podemos confirmar que a alternativa correta é a letra B. ✅
Passo 4 – Análise das Alternativas e Resolução
a) Manter a mesma mola e aumentar duas vezes a sua deformação. ❌
→ Errado! Pela relação entre v e x, se dobrássemos a compressão da mola, a velocidade só dobraria, mas precisamos que ela quadriplique.
b) Manter a mesma mola e aumentar quatro vezes a sua deformação. ✅
→ Certo! Como vimos no desenvolvimento, a velocidade v é proporcional à compressão da mola x. Para aumentar v em 4 vezes, a compressão precisa ser quadruplicada.
c) Manter a mesma mola e aumentar dezesseis vezes a sua deformação. ❌
→ Errado! Se aumentarmos xxx 16 vezes, a velocidade também aumentaria 16 vezes, o que é mais do que o necessário.
d) Trocar a mola por outra de constante elástica duas vezes maior e manter a deformação. ❌
→ Errado! A velocidade v depende da raiz quadrada da constante elástica k. Se aumentarmos k 2 vezes, a velocidade aumentaria apenas √2 vezes (aproximadamente 1,41 vezes), não 4 vezes.
e) Trocar a mola por outra de constante elástica quatro vezes maior e manter a deformação. ❌
→ Errado! Se aumentarmos k 4 vezes, a velocidade aumentaria em √4 = 2 vezes, o que ainda não é suficiente para chegar a 4 vezes a velocidade inicial.
Passo 5 – Conclusão e Justificativa Final
A questão trata da conservação da energia mecânica, onde a energia potencial elástica da mola se transforma em energia cinética do cubo.
A relação matemática mostra que a velocidade do cubo é proporcional à compressão da mola. Assim, para quadruplicar a velocidade, precisamos quadruplicar a compressão da mola.
✔ Resposta correta: Letra B! ✅
