O espectrômetro de massa de tempo de voo é um dispositivo utilizado para medir a massa de íons. Nele, um íon de carga elétrica q é lançado em uma região de campo magnético constante B, descrevendo uma trajetória helicoidal, conforme a figura. Essa trajetória é formada pela composição de um movimento circular uniforme no plano yz e uma translação ao longo do eixo x. A vantagem desse dispositivo é que a velocidade angular do movimento helicoidal do íon é independente de sua velocidade inicial. O dispositivo então mede o tempo t de voo para N voltas do íon. Logo, com base nos valores q, B, N e t, pode-se determinar a massa do íon.
A massa do íon medida por esse dispositivo será
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Eletromagnetismo, Força Magnética, Movimento Circular
Nível da Questão: Médio
Gabarito: Alternativa A
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da Questão:
A questão descreve um espectrômetro de massa de tempo de voo, que mede a massa de íons que seguem uma trajetória helicoidal ao entrarem em uma região de campo magnético. O dispositivo determina o tempo necessário para que a partícula complete N voltas e, com isso, pede-se para calcular a massa do íon com base nos valores q, B, N e t.
🔹 Palavras-chave:
- Espectrômetro de massa → Dispositivo que mede a massa de íons.
- Campo magnético (B) → Responsável por curvar a trajetória do íon.
- Trajetória helicoidal → Composta por um movimento circular uniforme e um deslocamento linear.
- Número de voltas (N) e tempo (t) → Permitem calcular a velocidade do íon.
📌Objetivo da questão: Determinar a massa do íon em função de q, B, N e t.
⚠ Dica Geral: Sempre que um problema envolve partículas carregadas em campo magnético, é essencial lembrar da relação entre força magnética e movimento circular uniforme.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔹 Força Magnética
Quando uma carga q se move em um campo magnético B com velocidade v, ela sofre uma força magnética dada por:
✔ F = q ⋅ v ⋅ B
Essa força atua perpendicularmente à direção do movimento da partícula, causando um movimento circular uniforme.
🔹 Força Centrípeta
Como a partícula descreve uma circunferência, a força magnética age como a força centrípeta, dada por:
✔ F = m ⋅ v² / R
Como a única força atuando radialmente é a força magnética, podemos igualar:
✔ m ⋅ v² / R = q ⋅ v ⋅ B
🔹 Período do Movimento Circular
O tempo para uma volta completa pode ser expresso como:
✔ T = 2πR / v
Como temos N voltas, o tempo total de voo do íon é:
✔ t = N ⋅ T = N ⋅ (2πR / v)
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Resumo do Enunciado:
- Um íon carregado q entra em uma região com campo magnético B e percorre uma trajetória helicoidal.
- A trajetória tem um componente circular uniforme no plano yz e um deslocamento no eixo x.
- O dispositivo mede o tempo total para completar N voltas e permite calcular a massa do íon.
Informação-chave:
O problema já nos fornece que a velocidade angular do íon é independente da velocidade inicial e podemos calcular a massa m usando a relação entre as grandezas.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
1º Passo: Isolamos a Massa
Partindo da equação da força magnética igualada à força centrípeta:
✔ m ⋅ v² / R = q ⋅ v ⋅ B
Podemos simplificar, isolando m:
✔ m = q ⋅ B ⋅ R / v
2º Passo: Substituímos R em função de N, B e t
Sabemos que a partícula dá N voltas no tempo t, então a velocidade pode ser expressa como:
✔ v = 2πR ⋅ N / t
Substituímos na equação de m:
✔ m = q ⋅ B ⋅ R / (2πR ⋅ N / t)
3º Passo: Simplificação Final
✔ m = (q ⋅ B ⋅ t) / (2πN)
Portanto, a massa do íon medida pelo dispositivo é:
✔ m = (q ⋅ B ⋅ t) / (2πN)
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
✅ Alternativa Correta:
✔ A) q ⋅ B ⋅ t / (2πN)
Essa é a expressão que encontramos no cálculo, portanto correta.
❌ Alternativa B) q ⋅ B ⋅ t / πN
O denominador deveria ter 2πN, então essa alternativa está incorreta.
❌ Alternativa C) 2q ⋅ B ⋅ t / πN
A presença do fator 2 a mais no numerador faz com que essa opção esteja errada.
❌ Alternativa D) q ⋅ B ⋅ t / N
A ausência do termo 2π no denominador torna essa alternativa incorreta.
❌ Alternativa E) 2q ⋅ B ⋅ t / N
Novamente, a falta de π no denominador torna a alternativa errada.
✅ Conclusão: A Alternativa A é a correta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Conclusão:
Determinamos que a massa do íon pode ser encontrada a partir da relação entre a força magnética, o tempo total de voo, o número de voltas (N) e o campo magnético (B). A equação correta é:
✔ m = q ⋅ B ⋅ t / (2πN)
🔍 Resumo Final:
- O íon segue uma trajetória helicoidal devido à força magnética.
- O movimento no plano yz é um movimento circular uniforme.
- O tempo total de voo do íon permite relacionar as grandezas e determinar sua massa.
- A alternativa correta é A.
