A altura de uma nota musical é determinada pela frequência da vibração que a nota causa. No piano, considere como referência a nota Lá, cuja frequência é 440 hertz, e a existência de outras notas Lá com frequências acima e abaixo desta. A tabela a seguir mostra as frequências de algumas notas Lá, em função do número n de oitavas abaixo e acima do Lá de referência, e o gráfico corresponde a uma função contínua que passa pelos pontos dados na tabela.
A partir dessas informações, verifica-se que
A) a variação da frequência da nota Lá é constante e igual a 2.
B) a frequência da nota Lá cresce exponencialmente em função do número n de oitavas.
C) para cada oitava acima da nota Lá usada como referência, a variação da frequência é 110 hertz.
D) a função que estabelece a relação entre o número de oitavas e a frequência da nota Lá é decrescente somente entre -2 e 0.
E) a função que estabelece a relação entre o número de oitavas e a frequência da nota Lá é decrescente para as oitavas abaixo e crescente para as oitavas acima do Lá usado como referência.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Funções, Função Exponencial e Análise de Gráficos) e Física (Acústica/Ondulatória básica).
Tema/Objetivo Geral
Identificar o comportamento matemático (tipo de função) que rege a relação entre notas musicais e suas frequências.
Nível da Questão: Médio.
- Exige a capacidade de traduzir uma tabela numérica e um gráfico visual em uma classificação algébrica (linear vs. exponencial).
- Requer atenção para distinguir “variação constante” (soma) de “razão constante” (multiplicação).
Gabarito: Alternativa B.
- A frequência dobra a cada intervalo fixo (oitava), caracterizando um crescimento onde a variável está no expoente (exponencial de base 2).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A questão quer que você olhe para os números da tabela e para a curva do gráfico e diga qual é o “nome e sobrenome” da função matemática que descreve essa situação.
Simplificação Radical:
Imagine que você tem uma conta bancária.
Cenário 1: Todo mês você deposita 100 reais. (Isso é crescimento Linear/Aritmético).
Cenário 2: Todo mês o valor total da conta dobra. (Isso é crescimento Exponencial/Geométrico).
A questão pergunta: O comportamento das notas musicais se parece com o Cenário 1 ou com o Cenário 2?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Analisar a Tabela: Verificar se os números crescem somando um valor fixo ou multiplicando por um valor fixo.
- Analisar o Gráfico: Observar a curvatura da linha (reta ou curva ascendente rápida).
- Classificar: Definir se é uma função afim (linear) ou exponencial com base na análise anterior.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Nesta etapa, vamos construir o raciocínio necessário através de um diálogo investigativo entre Mentor e Detetive (você).
Mentor: Vamos olhar para a tabela. O que acontece com a frequência (Hz) cada vez que subimos um degrau nas oitavas (n)? De -2 para -1, o valor vai de 110 para 220. De -1 para 0, vai de 220 para 440. Qual é o padrão matemático aqui?
Detetive: Os números estão dobrando. 110 vezes 2 é 220. 220 vezes 2 é 440. 440 vezes 2 é 880.
Mentor: Exato. E na matemática, quando uma grandeza cresce através de multiplicações sucessivas por um mesmo fator, que tipo de função temos? Lembre-se: Somar sempre o mesmo número cria uma reta (função linear). Multiplicar sempre pelo mesmo número cria o quê?
Detetive: Cria uma curva que sobe muito rápido. É uma função exponencial.
Mentor: Perfeito. A fórmula geral seria algo como f(n) = Inicial x (Fator)^n. Neste caso, como dobra, a base da potência é 2. Agora olhe para o gráfico. Ele é uma reta?
Detetive: Não, é uma curva que começa baixa e dispara para cima.
Mentor: Isso confirma nossa teoria. Gráficos de funções exponenciais com base maior que 1 têm exatamente esse formato de “decolagem de foguete”. Agora você tem a ferramenta: Multiplicação constante = Função Exponencial.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos formalizar o que descobrimos no diálogo.
Análise dos Dados Numéricos:
- Quando n passa de 0 para 1 -> Frequência vai de 440 para 880 (Aumentou 440).
- Quando n passa de 1 para 2 -> Frequência vai de 880 para 1760 (Aumentou 880).
- Quando n passa de 2 para 3 -> Frequência vai de 1760 para 3520 (Aumentou 1760).
Note que a quantidade somada (a diferença) não é constante. Ela aumenta cada vez mais. Isso elimina a possibilidade de ser uma função linear (Reta).
Porém, a razão (divisão) é constante:
- 880 dividido por 440 = 2.
- 1760 dividido por 880 = 2.
- 3520 dividido por 1760 = 2.
Conclusão Lógica:
Como a taxa de crescimento é baseada na multiplicação por 2 a cada passo, a frequência cresce exponencialmente em função de n.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Cuidado com a palavra “constante” na alternativa A. O aluno desatento pensa: “Ah, está sempre multiplicando por 2, então é constante”. Errado! O fator é constante, mas a variação absoluta (a subtração entre um valor e o anterior) muda drasticamente. Função constante é uma linha horizontal. Função com variação constante é uma reta inclinada. Função com fator constante é uma curva exponencial.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
- Síntese do raciocínio: A frequência dobra a cada oitava. Dobrar sucessivamente é a definição prática de crescimento exponencial de base 2. O gráfico confirma isso com uma curva ascendente característica.
- Expectativa: Procuramos a alternativa que contenha a palavra-chave “exponencialmente”.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Alternativa A (a variação da frequência da nota Lá é constante e igual a 2.)
Narrativa do Erro: O aluno confunde a razão da progressão geométrica (o fato de dobrar, ou seja, multiplicar por 2) com uma variação aritmética (somar 2). Se a variação fosse constante e igual a 2, a sequência seria 110, 112, 114, 116…
Diagnóstico do Erro: Confusão entre Progressão Aritmética (PA) e Geométrica (PG).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa B (a frequência da nota Lá cresce exponencialmente em função do número n de oitavas.)
Análise de Correspondência: Esta alternativa descreve perfeitamente o fenômeno observado na tabela (multiplicação constante) e no gráfico (curva de crescimento acelerado). Matematicamente, f(n) = 440 vezes 2 elevado a n.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
Alternativa C (para cada oitava acima da nota Lá usada como referência, a variação da frequência é 110 Hz.)
Narrativa do Erro: O aluno olha apenas para o primeiro intervalo da tabela (-2 para -1), onde a diferença é 220 – 110 = 110 Hz. Ele assume que isso vale para sempre. Porém, de 0 para 1, a variação é 440 Hz.
Diagnóstico do Erro: Generalização Precipitada (Olhar apenas um dado e ignorar o resto).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa D (a função que estabelece a relação entre o número de oitavas e a frequência da nota Lá é decrescente somente entre –2 e 0.)
Narrativa do Erro: O aluno confunde “números negativos no eixo x” com “função decrescente”. Mesmo nas oitavas negativas (-2, -1), a frequência está subindo (de 110 para 220). A função é sempre crescente.
Diagnóstico do Erro: Erro de Leitura de Gráfico (Confundir domínio negativo com imagem decrescente).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa E (a função que estabelece a relação entre o número de oitavas e a frequência da nota Lá é decrescente para as oitavas abaixo e crescente para as oitavas acima do Lá usado como referência.)
Narrativa do Erro: Similar ao erro da D. O aluno acha que do lado esquerdo do gráfico a curva está “descendo” ou “negativa”. Visualmente, da esquerda para a direita, a linha nunca para de subir. 110 é menor que 220, que é menor que 440.
Diagnóstico do Erro: Erro de Definição de Função Crescente.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é exponencial porque a música é logarítmica para os nossos ouvidos, mas exponencial na física das frequências.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Na música e nas bactérias, quem tem mais, cresce mais rápido: isso é Exponencial.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
A relação entre notas musicais é a base dos Logaritmos. Nossos ouvidos percebem a distância entre notas (Lá 220Hz e Lá 440Hz) como sendo “um passo” (uma oitava), mesmo que a diferença numérica dobre a cada passo. O decibel (dB) usado para medir volume de som funciona do mesmo jeito: uma escala logarítmica para lidar com energias que crescem exponencialmente.
