A Torre Eiffel, com seus 324 metros de altura, feita com treliças de ferro, pesava 7 300 toneladas quando
terminou de ser construída em 1889. Um arquiteto resolve construir um protótipo dessa torre em escala
1:100, usando os mesmos materiais (cada dimensão linear em escala de 1:100 do monumento real).
Considere que a torre real tenha uma massa Mtorre e exerça na fundação sobre a qual foi erguida uma
pressão Ptorre. O modelo construído pelo arquiteto terá uma massa Mmodelo e exercerá uma pressão Pmodelo.
Como a pressão exercida pela torre se compara com a pressão exercida pelo protótipo? Ou seja, qual é a razão entre as pressões (Ptorre)/(Pmodelo) ?
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Física (Mecânica: Pressão, Força Peso)
- Matemática (Relações de Escala: Linear, Área e Volume; Potenciação)
🎯 Tema/Objetivo Geral
Analisar como a massa, a área e a pressão de um objeto mudam quando ele é redimensionado de acordo com uma escala linear.
📊 Nível da Questão
Difícil.
Por quê? A questão envolve um raciocínio de escala que não é intuitivo. É preciso saber como a escala linear (1:100) se aplica a grandezas de área (escala²) e volume/massa (escala³), e então combinar esses conceitos na fórmula da pressão. O erro em qualquer uma das etapas de aplicação da escala levará a uma resposta incorreta.
✅ Gabarito
Alternativa C.
Resumo: A pressão é a razão entre a força (proporcional à massa e ao volume, ou seja, à escala ao cubo) e a área (proporcional à escala ao quadrado). A razão entre as pressões será, portanto, proporcional à própria escala linear. Como a torre é 100 vezes maior que o modelo, a pressão exercida por ela é 100 vezes maior. O número 100 escrito em notação de potência é 10².
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Como a pressão exercida pela torre se compara com a pressão exercida pelo protótipo? Ou seja, qual é a razão entre as pressões (P_torre)/(P_modelo) ?”
O que está sendo pedido?
A questão pede para calcularmos a razão entre a pressão exercida pela Torre Eiffel original e a pressão exercida pelo seu modelo em escala.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é descobrir como a pressão (Força/Área) muda quando todas as dimensões lineares de um objeto são reduzidas por um fator de 100.
🧠 Se você diminui o comprimento de um objeto em 10 vezes, a área da base dele diminui 10 vezes ou 100 vezes? E o volume, diminui 10 vezes ou 1000 vezes? Entender essa diferença é o segredo para resolver problemas de escala.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Pressão (P): É a força (F) exercida perpendicularmente sobre uma determinada área (A).
- Fórmula: P = F / A
- Força Peso (F): No caso da torre, a força exercida sobre a fundação é o seu próprio peso. O peso é o produto da massa (m) pela aceleração da gravidade (g).
- Fórmula: F = m ⋅ g
- Relações de Escala: Se temos uma escala linear k que relaciona o objeto maior com o menor (neste caso, as dimensões da torre são 100 vezes as do modelo, então k=100), as outras grandezas mudam da seguinte forma:
- Comprimento: L_torre = k ⋅ L_modelo = 100 ⋅ L_modelo
- Área: A_torre = k² ⋅ A_modelo = 100² ⋅ A_modelo
- Volume: V_torre = k³ ⋅ V_modelo = 100³ ⋅ V_modelo
- Massa (m): Como o problema afirma que são usados os “mesmos materiais”, a densidade (ρ) é constante. A massa é proporcional ao volume (m = ρ ⋅ V). Portanto, a massa também varia com k³.
- M_torre = k³ ⋅ M_modelo = 100³ ⋅ M_modelo.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos a Torre Eiffel gigante e pesada. Um arquiteto constrói uma miniatura perfeita, 100 vezes menor em cada dimensão (altura, largura, etc.), usando o mesmo material. A pergunta é: se dividirmos a pressão que a torre grande faz no chão pela pressão que a miniatura faz no chão, que número encontraremos?
Para isso, precisamos pensar:
- Como a Força Peso da torre grande se compara com a da miniatura? (Isso depende da massa/volume).
- Como a Área da Base da torre grande se compara com a da miniatura?
- Como a divisão dessas duas coisas (Pressão = Força/Área) se comporta?
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será expressar a pressão da torre em termos da pressão do modelo, usando as relações de escala para a massa e para a área, e então calcular a razão entre elas.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
- Escrevendo as Fórmulas da Pressão:
- Pressão da Torre: P_torre = (M_torre ⋅ g) / A_torre
- Pressão do Modelo: P_modelo = (M_modelo ⋅ g) / A_modelo
- Calculando a Razão (P_torre / P_modelo):
Vamos dividir a primeira equação pela segunda:
(P_torre) / (P_modelo) = [ (M_torre ⋅ g) / A_torre ] / [ (M_modelo ⋅ g) / A_modelo ]Podemos reorganizar a divisão de frações e cancelar a aceleração da gravidade (g), que é a mesma para ambos:
(P_torre) / (P_modelo) = (M_torre / M_modelo) ⋅ (A_modelo / A_torre) - Aplicando as Relações de Escala:
A escala linear é de 1:100, então o fator de escala k que relaciona as dimensões da torre com as do modelo é 100.- Relação de Massa: M_torre = 100³ ⋅ M_modelo → (M_torre / M_modelo) = 100³
- Relação de Área: A_torre = 100² ⋅ A_modelo → (A_modelo / A_torre) = 1 / 100²
- Substituindo as Relações na Razão das Pressões:
(P_torre) / (P_modelo) = (100³) ⋅ (1 / 100²)
(P_torre) / (P_modelo) = 100³ / 100²Usando a propriedade da divisão de potências (a^m / a^n = a^(m-n)):
(P_torre) / (P_modelo) = 100^(3-2) = 100¹
(P_torre) / (P_modelo) = 100 - Expressando o Resultado como Potência de 10:
O número 100 pode ser escrito como 10 x 10, ou seja, 10².
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é aplicar a escala de forma incorreta. Por exemplo, pensar que a massa também varia com o quadrado da escala (k²), ou que a área varia com a escala linear (k). É crucial lembrar: Área ~ (escala linear)² e Massa ~ (escala linear)³. O resultado final (pressão ~ escala linear) é uma consequência interessante e contraintuitiva para muitos.
Fechamento e Expectativa
O cálculo rigoroso nos leva a um resultado de 100, que em notação de potência de base 10 é 10². Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 10⁰
Incorreta. 10⁰ é igual a 1. Isso significaria que as pressões são iguais, o que não é verdade.
🔴 B) 10¹
Incorreta. 10¹ é igual a 10.
🟢 C) 10²
Correta. 10² é igual a 100, que corresponde exatamente ao resultado do cálculo.
🔴 D) 10⁴
Incorreta. 10⁴ é igual a 10.000.
🔴 E) 10⁶
Incorreta. 10⁶ é igual a 1.000.000.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
A questão analisa como a pressão exercida por um objeto varia com a escala. A pressão é definida como Força/Área. A força, neste caso, é o peso, que é proporcional à massa e, consequentemente, ao volume (escala linear ao cubo). A área da base é proporcional ao quadrado da escala linear. Portanto, a razão entre as pressões (P_torre / P_modelo) é igual à razão das massas (k³) dividida pela razão das áreas (k²), o que resulta na própria escala linear (k). Como a torre é 100 vezes maior que o modelo em suas dimensões lineares, a pressão exercida por ela também é 100 vezes maior. O valor 100 é expresso como 10² na alternativa C.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão 🔍
Regra da Escala para Pressão: Para um objeto feito do mesmo material e redimensionado por um fator k, a pressão que ele exerce em sua base varia com k. Se o objeto fica 100 vezes maior, a pressão na base também fica 100 vezes maior.
