Duas pessoas saem de suas casas para se exercitarem numa pista retilínea cujo comprimento é D. Elas percorrem todo o percurso e, ao final dele, retornam ao ponto de partida pelo mesmo caminho. A primeira delas caminha com velocidade de módulo v, e a segunda corre com uma velocidade de módulo 2v. As duas partem do mesmo ponto, no mesmo instante.
A distância percorrida pela segunda pessoa até o ponto em que as duas se encontram pela primeira vez é
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Cinemática Escalar (Movimento Retilíneo Uniforme), Razão e Proporção, Interpretação de Encontro de Móveis.
Tema/Objetivo Geral
Calcular a distância percorrida por um móvel em um problema de encontro, considerando velocidades diferentes e mudança de sentido (retorno).
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige abstração espacial. O aluno não deve apenas aplicar fórmulas, mas visualizar que o encontro ocorre na “volta” do corredor mais rápido.
- É necessário montar um sistema de equações relacionando distâncias e velocidades.
Gabarito: Alternativa C.
- A distância percorrida pela segunda pessoa é igual a 4/3 do comprimento total da pista (D).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
O objetivo é calcular uma distância específica: quanto a pessoa mais rápida correu até encontrar a mais lenta.
Simplificação Radical:
Imagine uma corrida injusta. O Corredor 2 é o “The Flash” (velocidade dobro da do Corredor 1). Eles largam juntos. O Flash chega ao fim da pista, bate na parede e volta. O Corredor 1 (mais lento) ainda está indo. Em algum lugar no meio do caminho, eles se cruzam “de frente”. Queremos saber quantos metros o Flash correu no total (ida + pedaço da volta) até esse “trombada”.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Entender a relação de Poder: Estabelecer a proporção matemática entre as distâncias percorridas baseada nas velocidades.
- Mapear o Terreno: Definir a geometria do encontro (a soma das distâncias percorridas).
- Montar a Equação: Cruzar a informação da proporção com a informação da geometria para achar o valor exato.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este mistério, vamos usar duas ferramentas lógicas simples:
Ferramenta 1: A Lei da Proporcionalidade
No movimento uniforme, a distância é igual a velocidade vezes tempo (d = v.t).
Como os dois saem juntos e se encontram juntos, o tempo de corrida é idêntico para ambos.
Logo, a razão entre as distâncias é igual à razão entre as velocidades.
- Se a Pessoa 2 corre com o dobro da velocidade (2v) da Pessoa 1 (v), ela obrigatoriamente percorre o dobro da distância.
- Fórmula Mental: Distância 2 = 2 vezes Distância 1.
Ferramenta 2: A Geometria do Encontro (Soma dos Percursos)
Visualize a pista de comprimento D.
- A Pessoa 2 vai até o fim (percorre D) e volta um pedaço.
- A Pessoa 1 vai até o ponto de encontro (percorre um pedaço).
- Se somarmos o rastro deixado pelos dois tênis no chão, teremos coberto a pista inteira na ida e na volta (até o ponto de encontro).
- Fórmula Geométrica: Distância 1 + Distância 2 = 2D (Ida completa + Volta completa somadas).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos unir as duas ferramentas para fechar a conta.
Etapa 1: Montando o Sistema
Temos duas verdades absolutas agora:
- d2 = 2 x d1 (O rápido correu o dobro).
- d1 + d2 = 2D (Juntos, cobriram o percurso de ida e volta).
Etapa 2: A Substituição
Queremos achar o valor de d2 (a distância do rápido).
Podemos escrever d1 em função de d2 usando a primeira equação:
Se d2 é o dobro de d1, então d1 é a metade de d2.
d1 = d2 / 2
Agora, jogamos isso na equação da soma:
(d2 / 2) + d2 = 2D
Etapa 3: A Matemática Final
Vamos somar “meio d2” com “um d2 inteiro”.
0,5 d2 + 1 d2 = 1,5 d2.
Ou, em fração: (1/2)d2 + (2/2)d2 = (3/2)d2.
Então:
(3/2) x d2 = 2D
Para isolar o d2, passamos o 2 multiplicando e o 3 dividindo:
d2 = (2D x 2) / 3
d2 = 4D / 3
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é calcular a distância da pessoa lenta (d1).
Se fizéssemos a conta para d1:
3 x d1 = 2D -> d1 = 2D/3.
Olhe para as alternativas. A alternativa (A) é exatamente 2D/3. O examinador sabe que você vai parar no meio do caminho e colocou essa resposta lá para te capturar. A pergunta pede a distância da segunda pessoa (a rápida). Fique atento ao comando!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
- Síntese do raciocínio: A pessoa rápida corre o dobro da lenta. Juntas percorrem 2D. Dividimos 2D em 3 partes iguais (proporção 1:2). A rápida correu 2 partes dessas 3, ou seja, dobrou a meta da lenta.
- Expectativa: A resposta deve conter o fator 4 no numerador e 3 no denominador, multiplicado por D.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Alternativa A (2D / 3)
Narrativa do Erro: O candidato montou o raciocínio correto, mas calculou a distância percorrida pela primeira pessoa (d1) e esqueceu de ler o enunciado que pedia a da segunda pessoa. É a distratora mais forte.
Diagnóstico do Erro: Falta de Atenção ao Comando (Calculou a variável errada).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa B (5D / 4)
Narrativa do Erro: Resultado de uma tentativa aleatória de proporção ou erro algébrico na soma das frações (ex: somar velocidades v + 2v = 3v e tentar relacionar com 4 partes de D de forma incorreta).
Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo/Álgebra.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa C (4D / 3)
Análise de Correspondência: Esta expressão representa exatamente a resolução da equação (3/2)d2 = 2D. Confirma que a segunda pessoa percorreu 2/3 do total de percurso somado (2D), resultando em 4D/3.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
Alternativa D (5D / 3)
Narrativa do Erro: Pode surgir se o aluno somar 2D (comprimento total) com alguma fração incorreta ou errar a multiplicação cruzada final.
Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa E (7D / 4)
Narrativa do Erro: Valor sem conexão lógica direta com as proporções 1:2 do problema.
Diagnóstico do Erro: Chute ou erro grave de modelagem.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é 4D/3 porque a velocidade em dobro garante o dobro da distância percorrida no mesmo intervalo de tempo.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Num encontro de frente em percurso fechado, as velocidades dividem o “bolo” da distância total (2D) em fatias proporcionais.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse princípio é usado em Astronomia para calcular órbitas binárias e centro de massa. Se duas estrelas orbitam um ponto comum e uma tem o dobro da massa da outra, as distâncias em relação ao centro de gravidade seguem uma proporção inversa similar às velocidades e distâncias que calculamos aqui. A matemática das proporções rege desde pistas de corrida até a dança das galáxias.
