Questão 148, caderno azul do ENEM 2023 – DIA 2

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Os cabos de aço formam um ângulo α com o plano do chão.

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

opção I: h = 11 m e α = 30°
opção II: h = 12 m e α = 45°
opção III: h = 18 m e α = 60°

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Trigonometria no Triângulo Retângulo (Seno).
Matemática Básica (Operações com Raízes e Comparações).

Tema/Objetivo Geral:
Aplicar a definição de seno (cateto oposto sobre hipotenusa) para calcular o comprimento de um segmento inclinado (cabo) em três situações diferentes e compará-los para encontrar o menor valor.

Nível da Questão:
Médio.
Justificativa: O cálculo trigonométrico é simples, mas o aluno precisa fazer três contas diferentes e, no final, comparar valores com raízes (2e 3), o que exige noção de aproximação decimal para saber quem é maior ou menor.

Gabarito:
Letra C – 12√2.
Resumo:

Opção I: Cabo = 22 m.
Opção II: Cabo = 122≈16,9
Opção III: Cabo = 123≈20,7
O menor valor é o da Opção II.

Resolução Passo a Passo

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

A Missão:
Precisamos escolher a opção de instalação que gasta menos cabo (menor comprimento).
Depois de escolher, devemos marcar a alternativa que mostra esse comprimento.

A Analogia Central (A Escada):
O cabo é como uma escada encostada na parede (mastro).

Altura da parede (h): Varia (11, 12 ou 18 metros).
Inclinação da escada (αα): Varia (30°, 45° ou 60°).
A pergunta é: Em qual das três configurações a escada fica mais curta?

Nosso Plano de Ataque:

Modelar o problema: Triângulo Retângulo. Cabo = Hipotenusa. Altura = Cateto Oposto.
Usar a fórmula do Seno: sen(α)
Calcular o cabo para as opções I, II e III.
Comparar os resultados e achar o menor.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Tabela de Senos (Arcos Notáveis):

sen(30°)=1/2=0,5
sen(45°)=22≈0,7
sen(60°)=32≈0,86

Aproximações Úteis para Comparação:

2≈1,41
3≈1,73

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos calcular o comprimento (L) para cada opção.

Opção I:

h=11h=11
α=30°α=30°
L1=11sen(30°)=110,5=22 m

Opção II:

h=12
α=45°
L2=12sen(45°)=1222=12⋅22=242
(Racionalizando: multiplica por 22 em cima e embaixo)
L2=2422=122 m
Estimativa: 12⋅1,41≈16,92 m.

Opção III:

h=18
α=60°
L3=18sen(60°)=1832=18⋅23=363L3
(Racionalizando)
L3=363=123 m
Estimativa: 12⋅1,73≈20,76 m12⋅1,73≈20,76 m.

O Veredito:
Comparando os valores aproximados:

L1=22,0
L2≈16,9
L3≈20,7

O menor comprimento é o da Opção II (122).

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a comparação de raízes!
Muitos alunos chegam em 122 e 123 e não sabem quem é menor.
Lembre-se: 22 é menor que 33. Se você multiplica o mesmo número (12) por algo menor, o resultado é menor.
Portanto, 122<123. Não precisava nem fazer a conta com vírgula para saber isso.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: Calculamos as três hipotenusas. A menor é a da Opção II.
Expectativa: O valor 122.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

a) 22√3 / 3

Diagnóstico do Erro: Cálculo aleatório.
Análise: Esse valor (≈12,7) não corresponde a nenhum dos cálculos feitos. Parece uma mistura de números.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

b) 11√2

Diagnóstico do Erro: Mistura de Opções.
Análise: Misturou a altura da Opção I (11) com o ângulo da Opção II (22).
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

c) 12√2

Análise: Perfeito. É o resultado exato do cálculo da Opção II, que provou ser a mais econômica (menor comprimento de cabo).
Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

d) 12√3

Diagnóstico do Erro: Escolheu a opção errada.
Análise: É o resultado da Opção III. Está matematicamente correto para aquela opção, mas não é a resposta porque a Opção III gasta mais cabo que a II (123>122). O comando pede a “menor possível”.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

e) 22

Diagnóstico do Erro: Escolheu a opção errada.
Análise: É o resultado da Opção I. É o maior comprimento de todos (22m), logo, é a pior escolha econômica.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Nem sempre o mastro mais baixo (11m) exige menos cabo. O ângulo (30°) fez o cabo ter que ir muito longe para alcançar o chão, gastando mais material. A geometria desafia a intuição.

Resumo-flash: ⚡
“Altura dividida pelo seno: quem tiver o menor resultado, ganha a licitação.”

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Isso é engenharia estrutural pura. Ao projetar Estais (cabos de pontes estaiadas), o engenheiro precisa otimizar o ângulo. Se o cabo for muito deitado (ângulo pequeno), a força de tração é enorme e o cabo precisa ser muito longo e grosso. Se for muito em pé, ele não estabiliza a ponte. O ângulo de 45° é frequentemente um ótimo equilíbrio.