Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 m e 6 m, será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura pelos círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre duas colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a 15 cm.
Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas.
A compra será realizada na loja cujo orçamento resulte no menor valor total possível.
A compra será realizada na loja
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (geometria plana e espacial, análise de tabelas e orçamentos).
Nível da Questão: Difícil.
Gabarito: Letra C.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a gente precisa descobrir qual das cinco lojas oferece o projeto mais barato no total. O truque é que o “projeto” não é só o preço da coluna; ele depende de quantas colunas de cada tipo a gente precisa comprar.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense que você precisa construir uma cerca de 3 metros de comprimento. Você pode usar estacas fininhas e baratas, mas vai precisar de um monte delas. Ou pode usar postes grossos e caros, mas vai precisar de bem menos. A pergunta é: qual combinação (muitas estacas baratas vs. poucas estacas caras) deixa o custo final mais baixo? É exatamente isso que vamos investigar.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte, vamos analisar loja por loja:
- Entender o Espaço: Primeiro, vamos definir o comprimento total que precisamos preencher com colunas e vãos.
- Criar a “Fórmula Mágica”: Vamos montar uma equação que nos diga quantas colunas (N) de um certo tamanho a gente precisa.
- Investigar Cada Loja: Para cada uma das cinco lojas, vamos usar nossa fórmula para descobrir o número de colunas necessárias, calcular o custo total e anotar.
- Declarar o Vencedor: No final, comparamos os cinco orçamentos e escolhemos o mais em conta.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Aplicação Direta da Ferramenta: A ferramenta aqui é mais raciocínio lógico do que uma fórmula pronta. Precisamos construir nossa própria equação. Vamos fazer isso juntos, em um diálogo rápido.
Diálogo Mentor-Aluno (🕵️♂️ & 🧠):
🕵️♂️: Certo, detetive. A sala tem 3 metros de largura, que é onde a fileira de colunas será instalada. Mas a tabela fala em centímetros. Qual a primeira coisa que a gente faz?
🧠: Converter tudo para a mesma unidade! 3 metros = 300 centímetros.
🕵️♂️: Perfeito! Agora, o que ocupa esses 300 cm?
🧠: As colunas e os espaços entre elas (os vãos).
🕵️♂️: Exato. Se tivermos N colunas, quantos vãos teremos? Pensa bem: tem o vão da parede até a primeira coluna, os vãos entre as colunas, e o vão da última coluna até a outra parede.
🧠: Ah, então teremos N + 1 vãos!
🕵️♂️: Bingo! Essa é a pista-chave que muita gente perde. Agora, a última regra: o vão não pode ser superior a 15 cm. Para a gente usar o mínimo de colunas possível, qual tamanho de vão a gente deve usar nos nossos cálculos?
🧠: O maior possível, ué! 15 cm.
🕵️♂️: Matou a charada! Nossa “fórmula mágica” para descobrir o número de colunas (N) para cada tipo de coluna é:
(N × Diâmetro da Coluna) + ((N + 1) × 15 cm) = 300 cm
Com essa ferramenta, a gente resolve o caso.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Show de bola! Com nossa fórmula montada, vamos interrogar cada uma das lojas.
Loja I (raio = 5 cm → diâmetro = 10 cm)
(N × 10) + ((N + 1) × 15) = 300
10N + 15N + 15 = 300
25N = 285
N = 11,4
Decisão: 12 colunas (arredonda para cima)
Custo total: 12 × R$ 60 = R$ 720
Loja II (raio = 10 cm → diâmetro = 20 cm)
(N × 20) + ((N + 1) × 15) = 300
20N + 15N + 15 = 300
35N = 285
N = 8,14
Decisão: 9 colunas
Custo total: 9 × R$ 70 = R$ 630
Loja III (raio = 12 cm → diâmetro = 24 cm)
(N × 24) + ((N + 1) × 15) = 300
24N + 15N + 15 = 300
39N = 285
N = 7,3
Decisão: 8 colunas
Custo total: 8 × R$ 75 = R$ 600
Loja IV (raio = 15 cm → diâmetro = 30 cm)
(N × 30) + ((N + 1) × 15) = 300
30N + 15N + 15 = 300
45N = 285
N = 6,33
Decisão: 7 colunas
Custo total: 7 × R$ 90 = R$ 630
Loja V (raio = 20 cm → diâmetro = 40 cm)
(N × 40) + ((N + 1) × 15) = 300
40N + 15N + 15 = 300
55N = 285
N = 5,18
Decisão: 6 colunas
Custo total: 6 × R$ 120 = R$ 720
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Calma, respira. Por que a gente sempre arredonda o número de colunas para cima? Se a gente arredondasse 11,4 para 11 (na Loja I, por exemplo), os vãos teriam que ser maiores que 15 cm para preencher os 300 cm, e isso quebraria a regra do projeto! Arredondar para cima garante que os vãos serão menores ou iguais a 15 cm, o que é permitido.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Depois de calcular o custo total para cada loja, temos os seguintes orçamentos:
| Loja | Custo Total (R$) |
|---|---|
| I | 720 |
| II | 630 |
| III | 600 |
| IV | 630 |
| V | 720 |
- Expectativa: A compra será realizada na loja que apresentou o menor orçamento total, que é a Loja III.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) I.
- A “Narrativa do Erro”: O aluno escolhe a loja com o menor preço por unidade (R$ 60), sem fazer o cálculo completo do projeto.
- O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo (olhar a parte, não o todo).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- B) II.
- A “Narrativa do Erro”: O aluno pode ter errado o arredondamento em algum cálculo ou simplesmente se confundido.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- C) III.
- Análise de Correspondência: Esta é a nossa campeã. Após todos os cálculos, a Loja III provou ter o menor custo total (R$ 600).
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- D) IV.
- A “Narrativa do Erro”: O aluno pode ter pensado que, como a Loja IV precisa de menos colunas que a III, seria mais barata.
- O “Diagnóstico do Erro”: Falsa Economia (confundir menor quantidade com menor custo).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- E) V.
- A “Narrativa do Erro”: O aluno escolhe a loja que precisa do menor número de colunas (6), caindo na mesma armadilha da alternativa D.
- O “Diagnóstico do Erro”: Falsa Economia.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Mandamos bem! A resposta certa é a (C) III, porque a verdadeira economia não estava na coluna mais barata, nem na que precisava de menos unidades, mas no ponto de equilíbrio perfeito entre preço e quantidade.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Em um projeto, o menor preço da peça não garante o menor preço da obra.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse exato problema de otimização é um pilar da Logística e Gerenciamento de Estoque. Uma empresa precisa decidir se compra caminhões pequenos e baratos para fazer muitas entregas ou caminhões grandes e caros para fazer menos viagens. Não há uma resposta única. É preciso calcular o custo total de cada cenário (combustível, motorista, manutenção, etc.) para encontrar o “ponto ótimo”, exatamente como fizemos para escolher a melhor coluna. Você acabou de pensar como um gerente de logística de uma grande empresa!
