Para melhorar o fluxo de ônibus em uma avenida que tem dois semáforos, a prefeitura reduzirá o tempo em que cada sinal ficará vermelho, que atualmente é de 15 segundos a cada 60 segundos. Admita que o instante de chegada de um ônibus a cada semáforo é aleatório. O engenheiro de tráfego da prefeitura calculou a probabilidade de um ônibus encontrar cada um deles vermelho, obtendo 15/60. A partir daí, estabeleceu uma mesma redução na quantidade do tempo, em segundo, em que cada sinal ficará vermelho, de maneira que a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os sinais vermelhos numa mesma viagem seja igual a 4/100, considerando os eventos independentes.
Para isso, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho, em segundo, estabelecida pelo engenheiro foi de
A) 1,35.
B) 3,00.
C) 9,00.
D) 12,60.
E) 13,80.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Probabilidade (Eventos Independentes)
- Álgebra Básica (Equações de 1º Grau)
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a variação necessária em uma grandeza (tempo) para atingir uma probabilidade composta específica, utilizando a regra do produto para eventos independentes.
- Nível da Questão: Médio.
- A questão exige um caminho de “ida e volta”. O aluno precisa entender que a probabilidade conjunta é o produto das individuais, extrair a raiz quadrada para achar a probabilidade unitária, converter isso em tempo e, finalmente, calcular a diferença (redução). Esquecer o último passo é o erro fatal.
- Gabarito: B
- A alternativa está correta. A probabilidade alvo é 4/100. Como os eventos são iguais, a probabilidade de um sinal é a raiz quadrada disso (2/10 ou 1/5). 1/5 de 60 segundos são 12 segundos. Como era 15 e foi para 12, a redução foi de 3 segundos.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Hoje, a chance de você pegar dois sinais vermelhos seguidos é alta. O prefeito quer diminuir essa chance para exatos 4%. Para isso, quantos segundos ele precisa tirar do tempo vermelho de cada sinal?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine dois dados viciados. A chance de sair “6” nos dois ao mesmo tempo depende da chance de sair “6” em um só. Aqui, o “dado” é o semáforo. Queremos que a chance do “duplo vermelho” seja 4/100. Precisamos descobrir qual o tamanho da “face vermelha” do dado para que isso aconteça e quanto precisamos lixar dessa face em relação ao tamanho original.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Desmontar o Evento Conjunto: Sabemos a chance final dos dois sinais (4/100). Vamos usar a raiz quadrada para descobrir a chance de um sinal estar vermelho.
- Traduzir Chance para Tempo: Converter essa probabilidade unitária em segundos (sabendo que o minuto tem 60s).
- Calcular a Diferença: Subtrair o novo tempo do tempo antigo (15s) para achar a redução.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este caso, precisamos de duas chaves mestras.
DOSSIÊ: PROBABILIDADE E TEMPO
1. A Regra da Independência:
Se dois eventos não interferem um no outro (o sinal 1 não sabe o que o sinal 2 está fazendo), a probabilidade de ambos acontecerem é o PRODUTO das probabilidades.
- P(Total) = P(Sinal 1) x P(Sinal 2)
- Como os sinais são configurados iguais: P(Total) = [P(Sinal)]²
2. A Regra da Proporção Temporal:
A probabilidade de pegar um sinal vermelho é simplesmente a fração do tempo que ele fica vermelho dentro do ciclo total.
- P(Sinal) = Tempo Vermelho / Tempo Total (60s)
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano.
1. Achando a Nova Probabilidade de UM sinal:
O engenheiro quer que a probabilidade conjunta (Sinal 1 E Sinal 2) seja 4/100.
Pela nossa ferramenta de independência:
[P(Sinal)]² = 4 / 100
Para achar o P(Sinal), tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
P(Sinal) = Raiz Quadrada de (4 / 100)
P(Sinal) = 2 / 10
Simplificando a fração (dividindo por 2):
P(Sinal) = 1 / 5
(Ou seja, a cada 5 segundos, 1 é vermelho).
2. Traduzindo 1/5 para Segundos:
O ciclo total é de 60 segundos.
Qual tempo (T-novo) corresponde a 1/5 de 60?
T-novo = (1 / 5) x 60
T-novo = 60 / 5
T-novo = 12 segundos.
3. O Passo Final (A Pergunta Real):
A questão NÃO pediu o novo tempo. Ela pediu a REDUÇÃO.
- Tempo Antigo = 15 segundos.
- Tempo Novo = 12 segundos.
- Redução = 15 – 12 = 3 segundos.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais perigosa aqui é calcular o novo tempo (12 segundos) e procurar essa resposta nas alternativas (se tivesse 12, muita gente marcaria). Outra armadilha é calcular a porcentagem direta: 4/100 de 60 segundos dá 2,4 segundos. Subtrair 15 – 2,4 = 12,6 (Alternativa D). Isso acontece quando o aluno confunde a probabilidade conjunta com a probabilidade simples.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A probabilidade composta (4%) implica uma probabilidade simples de 20% (raiz quadrada). 20% de um minuto são 12 segundos. Como tínhamos 15 segundos antes, cortamos 3 segundos.
- Expectativa: O valor da redução é 3,00.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1,35.
- A “Narrativa do Erro”: Erro de cálculo aleatório ou confusão com decimais. Não segue uma lógica direta de erro conceitual comum, parecendo ser um distrator numérico.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) 3,00.
- Análise de Correspondência: Perfeita. Corresponde à diferença exata entre o tempo original (15s) e o novo tempo necessário (12s) para atingir a probabilidade alvo.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
C) 9,00.
- A “Narrativa do Erro”: O aluno pode ter calculado o tempo novo como 6 segundos (talvez errando a raiz de 4/100 para 1/10?). Se 1/10 de 60 = 6s. Redução: 15 – 6 = 9. Erro na extração da raiz.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) 12,60.
- A “Narrativa do Erro”: O erro clássico de interpretação. O aluno calcula 4% de 60 segundos diretamente (0,04 x 60 = 2,4 segundos). Ele acha que esse é o tempo a ser reduzido? Ou talvez faça 15 – 2,4 = 12,6. É uma mistura de conceitos onde se aplica a probabilidade conjunta diretamente ao tempo linear.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
E) 13,80.
- A “Narrativa do Erro”: Outro distrator numérico sem vínculo lógico forte com as etapas corretas.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa B é a correta. Em probabilidade, quando queremos desfazer um evento composto (A e B) para achar o evento simples, a operação inversa da multiplicação é a raiz quadrada (se os eventos forem idênticos).
Resumo-flash (A Imagem Mental): Para separar os gêmeos (sinais iguais), tire a raiz do problema.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse princípio é a base da Engenharia de Confiabilidade e Segurança de Sistemas. Se você quer que a chance de falha total de um avião seja de 1 em 1 milhão, e o avião tem dois motores independentes, você não precisa de motores perfeitos. Você precisa de motores que falhem apenas 1 vez em mil. Pois (1 em 1000) x (1 em 1000) = 1 em 1 milhão. Construir dois sistemas razoáveis é muitas vezes mais barato e seguro do que tentar construir um único sistema perfeito.
