A densidade demográfica de uma região é definida como sendo a razão entre o número de habitantes dessa região e sua área, expressa na unidade habitantes por quilômetro quadrado. Uma região R é subdividida em várias outras, sendo uma delas a região Q. A área de Q é igual a três quartos da área de R, e o número de habitantes de Q é igual à metade do número de habitantes de R. As densidades demográficas correspondentes a essas regiões são denotadas por d(Q) e d(R).
A expressão que relaciona d(Q) e d(R) é
A)
B)
C)
D)
E)
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática Básica (Operações com Frações e Razões)
- Álgebra (Substituição de Variáveis)
- Tema/Objetivo Geral: Comparar duas grandezas (densidades) através da manipulação algébrica de suas fórmulas, substituindo valores proporcionais (metade, três quartos).
- Nível da Questão: Médio.
- Embora o conceito seja simples, a questão exige a divisão de uma fração por outra fração (“fração sanduíche”). O aluno precisa ter segurança na regra de “conservar a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda” para não inverter o resultado final.
- Gabarito: E
- A alternativa está correta. Ao dividir o fator da população (1/2) pelo fator da área (3/4), obtemos a fração 2/3. Logo, a densidade de Q é 2/3 da densidade de R.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “A região Q tem menos gente e é menor que a região R. Comparando a ‘lotação’ (densidade) das duas, qual é a relação matemática exata entre elas?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine dois elevadores.
- Elevador R: É o padrão.
- Elevador Q: Tem metade das pessoas do R, mas o tamanho da cabine é 3/4 do tamanho do R.
A pergunta é: O elevador Q está mais apertado ou mais folgado que o R? E quanto, exatamente?
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Escrever a Fórmula Padrão: Definir matematicamente o que é Densidade de R (d(R)).
- Escrever a Fórmula Modificada: Definir a Densidade de Q (d(Q)) substituindo os dados do texto (1/2 da população e 3/4 da área).
- Operar a Mágica das Frações: Resolver a divisão de frações para encontrar o número que relaciona as duas densidades.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este caso, precisamos dominar a Divisão de Frações.
DOSSIÊ: O SANDUÍCHE DE FRAÇÕES
1. A Fórmula da Densidade:
d = Habitantes / Área
2. A Regra de Ouro da Divisão:
Quando você tem uma fração dividida por outra fração (um “sanduíche”), a regra é sagrada:
Mantém a de cima e MULTIPLICA pelo INVERSO da de baixo.
Exemplo visual em texto:
(A / B) dividido por (C / D)
Vira:
(A / B) . (D / C)
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aplicar nosso plano.
1. Definindo o Padrão (Região R):
- População de R = P
- Área de R = A
- d(R) = P / A
2. Definindo a Modificação (Região Q):
O enunciado nos dá duas pistas cruciais:
- População de Q = (1/2) . P (Metade da população)
- Área de Q = (3/4) . A (Três quartos da área)
Agora, montamos a densidade de Q:
d(Q) = [(1/2) . P] / [(3/4) . A]
3. Resolvendo o Sanduíche:
Vamos separar os números das letras.
d(Q) = [ (1/2) / (3/4) ] . (P / A)
Note que (P / A) é exatamente a densidade de R, ou seja, d(R).
Agora precisamos resolver a parte numérica: (1/2) dividido por (3/4).
Aplicando a Regra de Ouro:
- Mantém a primeira: 1/2
- Inverte a segunda: 4/3
- Multiplica: (1/2) . (4/3)
Multiplicação direta (o de cima pelo de cima, o de baixo pelo de baixo):
- 1 . 4 = 4
- 2 . 3 = 6
Resultado parcial: 4/6
4. O Toque Final (Simplificação):
A fração 4/6 pode ser simplificada dividindo tudo por 2.
4/6 = 2/3
Logo:
d(Q) = (2/3) . d(R)
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é na inversão da fração.
Muitos alunos fazem (1/2) dividido por (3/4) e acham 3/8 (multiplicando direto) ou invertem a ordem errada achando 3/2 (Alternativa D).
Lembre-se sempre: quem inverte é sempre o denominador (a fração de baixo).
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Substituímos os valores proporcionais na fórmula da densidade e resolvemos a divisão de frações resultante [(1/2) / (3/4)], chegando ao coeficiente 2/3.
- Expectativa: Procuramos uma alternativa que mostre d(Q) igual a dois terços de d(R).
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) d(Q) = 1/4 d(R)
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de operação. O aluno pode ter multiplicado 1/2 por 1/2 ou feito alguma confusão subtraindo 3/4 de 1 (sobrando 1/4).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) d(Q) = 1/2 d(R)
- O “Diagnóstico do Erro”: Foco parcial. O aluno considerou apenas a redução da população (metade), ignorando que a área também diminuiu (o que aumentaria a densidade relativa).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) d(Q) = 3/4 d(R)
- O “Diagnóstico do Erro”: Foco parcial reverso. O aluno considerou apenas a proporção da área, ignorando a mudança na população.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) d(Q) = 3/2 d(R)
- O “Diagnóstico do Erro”: Inversão do resultado. O aluno calculou d(R) em função de d(Q) ou errou a regra da divisão de frações, invertendo a primeira fração em vez da segunda. Chegou a 1,5 (3/2) em vez de 0,66 (2/3).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
E) d(Q) = 2/3 d(R)
- Análise de Correspondência: Perfeita. O cálculo da divisão de frações (1/2 dividido por 3/4) resulta exatamente em 4/6, que simplificado é 2/3.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa E é a correta. Este exercício prova que a densidade não depende apenas do número de “coisas”, mas do espaço que elas ocupam; reduzir o espaço “amortizou” a redução da população.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Divisão de fração é igual a dança: mantém o par de cima e gira o par de baixo de ponta-cabeça.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O conceito de Densidade (Razão X/Y) é universal na ciência. Na Física, temos a Densidade Volumétrica (Massa/Volume). Na Economia, temos a Renda Per Capita (Renda/População). A habilidade de manipular essas razões quando as variáveis mudam (ex: “se o PIB dobrar e a população triplicar, o que acontece com a renda per capita?”) é a base da análise macroeconômica e da física de escalas. Se você domina essa álgebra de frações, você domina a modelagem de cenários.
