Uma empresa produz mochilas escolares sob encomenda. Essa empresa tem um custo total de produção, composto por um custo fixo, que não depende do número de mochilas, mais um custo variável, que é proporcional ao número de mochilas produzidas. O custo total cresce de forma linear, e a tabela apresenta esse custo para três quantidades de mochilas produzidas.
O custo total, em real, para a produção de 80 mochilas será
A) 2400,00
B) 2520,00
C) 2550,00
D) 2700,00
E) 2800,00
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (Função do 1º Grau / Função Afim)
- Álgebra (Sistemas de Equações)
- Tema/Objetivo Geral: Modelar uma situação de custo de produção utilizando uma função linear (
y=ax+by=ax+b) para encontrar um valor desconhecido. - Nível da Questão: Médio.
- Requer que o aluno entenda que “crescimento linear” com “custo fixo” não é uma Regra de Três Simples. Exige descobrir dois parâmetros ocultos (o custo fixo e o custo por unidade) antes de calcular a resposta final.
- Gabarito: C
- A alternativa está correta. Descobrimos que o custo variável é R$ 30,00 por mochila e o custo fixo é R$ 150,00. Logo, para 80 mochilas o custo total é R$ 2.550,00.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Em bom português, a missão é: “Descobrir a fórmula secreta de preços dessa fábrica. Sabemos que existe uma taxa de ‘start’ (custo fixo) e um preço por unidade (custo variável). Precisamos achar esses dois valores para calcular quanto custam 80 mochilas.”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine um Táxi.
- Ao entrar no carro, você já paga a bandeirada (Custo Fixo).
- Depois, você paga um valor por quilômetro rodado (Custo Variável).
A tabela nos mostra o preço final de algumas corridas. Nosso trabalho é descobrir o valor da bandeirada e o valor do quilômetro para prever o preço de uma viagem de 80 km.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Comparar os Cenários: Ver quanto o custo aumentou de 30 para 50 mochilas. A diferença de preço é puramente culpa das mochilas extras (o custo fixo não muda).
- Achar o Custo Unitário: Dividir a diferença de preço pela diferença de mochilas.
- Achar o Custo Fixo: Voltar em qualquer cenário, descontar o custo das mochilas e ver o que sobra.
- Calcular a Meta: Aplicar os valores descobertos para 80 mochilas.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este caso, precisamos da estrutura da Função Afim.
DOSSIÊ: A MÁQUINA DE PREÇOS (Y = ax + b)
- Custo Total (Y): O valor final da tabela.
- Custo Variável (a): O preço de fabricar uma mochila.
- Quantidade (x): O número de mochilas.
- Custo Fixo (b): Aquele custo que existe mesmo se a fábrica produzir zero mochilas (aluguel, luz, etc.).
A Ferramenta da Variação (Delta):
Em funções lineares, podemos achar o “a” (custo por unidade) assim:
a = (Diferença de Preço) / (Diferença de Quantidade)
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano usando os dados da tabela.
1. Achando o Custo por Mochila (Variável):
- Cenário 1: 30 mochilas custam 1.050.
- Cenário 2: 50 mochilas custam 1.650.
- Aumento de Mochilas: 50 – 30 = 20 mochilas.
- Aumento de Preço: 1.650 – 1.050 = 600 reais.
Raciocínio: Se 20 mochilas a mais custaram 600 reais a mais, quanto custa cada uma?
Custo Unitário = 600 / 20 = R$ 30,00 por mochila.
2. Achando o Custo Fixo (A Bandeirada):
Vamos pegar o caso de 30 mochilas.
- Total pago: R$ 1.050,00.
- Parte Variável (Mochilas): 30 mochilas x 30,00 = R$ 900,00.
- O que sobra é o Custo Fixo.
Fixo = Total – Variável
Fixo = 1.050 – 900 = R$ 150,00.
(Prova Real: Teste com 50 mochilas. 50×30 = 1500. Mais 150 fixo = 1650. Bateu!)
3. Calculando para 80 Mochilas:
Agora temos a fórmula mágica: Custo = 150 + (30 . Quantidade).
- Quantidade = 80.
- Custo = 150 + (30 . 80)
- Custo = 150 + 2.400
- Custo = R$ 2.550,00
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro fatal aqui é usar Regra de Três. O aluno pensa: “Se 50 mochilas custam 1.650, então 80 custam X”. Isso só funcionaria se não existisse custo fixo (se começasse do zero). Como existe uma “bandeirada” fixa, a proporção direta não funciona. Se você fizesse regra de três (1650 . 80 / 50), acharia 2.640. Errado!
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Identificamos que cada mochila custa 30 reais e que existe uma taxa fixa de 150 reais. Somamos a taxa fixa ao custo de 80 unidades.
- Expectativa: O valor 2.550.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 2400,00
- O “Diagnóstico do Erro”: Esquecimento. O aluno calculou corretamente o custo das mochilas (80 x 30 = 2400), mas esqueceu de somar o Custo Fixo de 150 reais.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) 2520,00
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de interpolação linear mal feita ou erro de cálculo aritmético ao tentar somar proporções (talvez tentar somar o custo de 30 com o de 50 e subtrair algo errado).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) 2550,00
- Análise de Correspondência: Perfeita. Corresponde à soma do custo fixo (150) com o custo variável de 80 unidades (2400).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
D) 2700,00
- O “Diagnóstico do Erro”: Regra de Três (quase). Se o aluno tentasse fazer uma proporção direta usando outros valores ou arredondamentos, poderia cair próximo a este valor.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
E) 2800,00
- O “Diagnóstico do Erro”: Regra de Três com o valor errado. Se o aluno fizesse a regra de três usando o valor de 30 mochilas (1050/30 = 35 reais “médios” por mochila) -> 35 x 80 = 2800. Esse erro acontece ao ignorar que o custo médio diminui conforme produzimos mais.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa C é a correta. Funções do 1º grau modelam a vida real melhor que a regra de três, pois consideram que nem tudo começa do zero; muitas coisas têm um “custo de partida”.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Na fábrica ou no táxi, separe a “bandeirada” (fixo) da “corrida” (variável) antes de calcular o preço final.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse conceito é a base da Economia de Escala. Note que o “preço médio” por mochila cai quanto mais você produz:
- Com 30 mochilas: 1050/30 = R$ 35,00 cada.
- Com 80 mochilas: 2550/80 = R$ 31,87 cada.
Isso acontece porque o Custo Fixo (aluguel, maquinário) se dilui entre mais unidades. É por isso que grandes indústrias conseguem vender produtos mais baratos que pequenos artesãos.
