A cada dia que passa, um aluno resolve 2 exercícios a mais do que resolveu no dia anterior. Ele completou seu 11º dia de estudo e resolveu 22 exercícios. Seu objetivo é resolver, no total, pelo menos 272 exercícios.
Mantendo seu padrão de estudo, quantos dias ele ainda precisa para atingir sua meta?
A) 5
B) 6
C) 9
D) 16
E) 20
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Progressão Aritmética (Termo Geral e Soma dos Termos), Interpretação de Texto, Álgebra.
- Tema/Objetivo Geral: Aplicação de conceitos de Progressão Aritmética para resolver um problema de metas cumulativas dividido em duas etapas.
- Nível da Questão: Médio. A questão exige uma cadeia de raciocínio com múltiplos passos: encontrar o primeiro termo da PA, calcular a soma dos termos já concluídos, determinar o valor restante para a meta e, por fim, calcular o número de novos termos necessários para atingir essa meta. Cada etapa é uma potencial fonte de erro.
- Gabarito: A) 5. Após calcular que o aluno já resolveu 132 exercícios nos primeiros 11 dias, a meta restante é de 140. Uma nova soma de PA, começando do 12º dia, mostra que são necessários mais 5 dias para completar esses 140 exercícios.
Resolução Passo a Passo
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir quantos dias a mais o aluno precisa estudar para atingir sua meta total de 272 exercícios, sabendo que ele já estudou por 11 dias e segue um padrão de aumento constante. A palavra-chave aqui é “ainda precisa”.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como uma escalada. Um alpinista sobe 2 metros a mais a cada dia. No 11º dia, ele escalou 22 metros. A montanha tem 272 metros de altura. O verdadeiro desafio aqui não é descobrir em quantos dias ele chegará ao topo desde o início, mas sim, a partir da sua posição atual, quantos dias a mais de escalada faltam.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): O plano para solucionar este caso será dividido em duas grandes fases:
- Fase 1: Diagnóstico da Situação Atual
- a. Descobrir com quantos exercícios ele começou no 1º dia.
- b. Calcular o total de exercícios que ele já resolveu nos 11 dias.
- Fase 2: Projeção para o Futuro
- a. Determinar quantos exercícios ainda faltam para a meta.
- b. Calcular quantos dias adicionais são necessários para resolver essa quantidade restante.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, precisamos do kit completo de ferramentas da Progressão Aritmética (PA).
🕵️♂️ Dossiê da Progressão Aritmética 🕵️♂️
- O que é? Uma sequência onde cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante chamada razão (r).
- Dados do Problema:
- Razão (r) = 2 (exercícios a mais por dia)
- 11º Termo (a₁₁) = 22 (exercícios feitos no 11º dia)
- Ferramenta 1: Fórmula do Termo Geral
- Uso: Encontrar qualquer termo da sequência (como o a₁) sabendo outro termo.
- Fórmula: aₙ = a₁ + (n – 1) * r
- Ferramenta 2: Fórmula da Soma dos Termos
- Uso: Calcular o total de exercícios feitos em um período.
- Fórmula: Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Executando o plano de ataque com as ferramentas corretas.
Fase 1: Diagnóstico da Situação Atual
- Descobrindo o 1º dia (a₁):
- Usando a fórmula do Termo Geral com os dados que temos: a₁₁ = a₁ + (11 – 1) * r
- 22 = a₁ + (10) * 2
- 22 = a₁ + 20
- a₁ = 22 – 20 = 2 exercícios. (Ele começou com 2 exercícios no 1º dia).
- Calculando o Total Já Feito (S₁₁):
- Agora usamos a fórmula da Soma para os 11 dias: S₁₁ = (a₁ + a₁₁) * 11 / 2
- S₁₁ = (2 + 22) * 11 / 2
- S₁₁ = 24 * 11 / 2 = 12 * 11 = 132 exercícios.
Fase 2: Projeção para o Futuro
- Determinando o que Falta:
- Meta Total: 272
- Já Feitos: 132
- Faltam: 272 – 132 = 140 exercícios.
- Calculando os Dias Adicionais:
- Precisamos descobrir quantos dias a mais (vamos chamar de k) são necessários para somar 140 exercícios.
- A nova contagem começa no 12º dia. Quantos exercícios ele fará no 12º dia?
- a₁₂ = a₁₁ + r = 22 + 2 = 24. Este é o primeiro termo da nossa nova soma.
- A soma dos próximos k dias deve ser 140. A forma mais rápida é testar as alternativas.
- Testando k = 5 dias (Alternativa A):
- O período vai do 12º ao 16º dia.
- Primeiro termo da soma: a₁₂ = 24.
- Último termo da soma: a₁₆ = a₁₂ + (5 – 1) * r = 24 + 4 * 2 = 24 + 8 = 32.
- Soma dos 5 dias = (24 + 32) * 5 / 2 = 56 * 5 / 2 = 28 * 5 = 140.
- O valor bate exatamente com o que falta.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais perigosa aqui é calcular o número total de dias para atingir a meta e esquecer que a pergunta é sobre os dias que ainda faltam. Um raciocínio que leva a esse erro seria: “Preciso de uma soma total de 272”. O estudante resolveria Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2 = 272. Isso leva a uma equação do 2º grau que, resolvida, dá n = 16. Ao ver o “16” na alternativa D, o candidato desatento marca e erra. O número 16 representa o total de dias desde o início, mas como 11 já se passaram, a resposta correta é 16 – 11 = 5.
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O aluno fez 132 exercícios em 11 dias, faltando 140. A soma da PA que começa com 24 exercícios (no 12º dia) atinge 140 em 5 dias.
- Expectativa: A alternativa correta deve ser o número de dias adicionais, que é 5.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 5
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente à “Expectativa” e ao resultado do nosso cálculo sequencial.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
B) 6, C) 9, E) 20
- A Narrativa do Erro: Resultam de erros de cálculo em alguma das múltiplas etapas (cálculo de a₁, da soma S₁₁, do restante ou da nova soma).
- Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 16
- A Narrativa do Erro: É o resultado da “Armadilha Clássica”. O estudante calcula o número total de dias necessários desde o início (16) e não o número de dias restantes.
- Diagnóstico do Erro: Responder a Pergunta Errada (total vs. restante).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirma-se que a resposta correta é a (A). A lição é que problemas complexos muitas vezes são apenas uma sequência de problemas simples, e a chave é identificar e resolver cada etapa na ordem correta, prestando atenção ao que a pergunta final realmente pede.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Primeiro some o passado para saber onde está; depois calcule o futuro para saber quanto falta.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de calcular um total acumulado e depois projetar o tempo restante para uma meta é fundamental no Gerenciamento de Projetos. Um gerente de projeto usa um “Gráfico de Burndown”, que mostra o trabalho total a ser feito. A cada dia, ele mede o “trabalho concluído” (nossa S₁₁) e atualiza o gráfico. A “velocidade” da equipe (nossa razão da PA) permite projetar quantos “sprints” ou dias adicionais serão necessários para zerar o trabalho restante e atingir a meta do projeto. A matemática para planejar os estudos é a mesma usada para planejar o lançamento de um software ou a construção de um edifício.
