A vida na rua como ela é
O Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à Fome (MDS) realizou, em parceria com a ONU, uma pesquisa nacional sobre a população que vive na rua, tendo sido ouvidas 31.922 pessoas em 71 cidades brasileiras. Nesse levantamento, constatou-se que a maioria dessa população sabe ler e escrever (74%), que apenas 15,1% vivem de esmolas e que, entre os moradores de rua que ingressaram no ensino superior, 0,7% se diplomou. Outros dados da pesquisa são apresentados nos quadros abaixo.
No universo pesquisado, considere que P seja o conjunto das pessoas que vivem na rua por motivos de alcoolismo/drogas e Q seja o conjunto daquelas cujo motivo para viverem na rua é a decepção amorosa.
Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo pesquisado e supondo-se que seja igual a 40% a probabilidade de que essa pessoa faça parte do conjunto P ou do conjunto Q, então a probabilidade de que ela faça parte do conjunto interseção de P e Q é igual a
a) 12%.
b) 16%.
c) 20%.
d) 36%.
e) 52%.
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Interpretação de Gráficos e Enunciados
- Teoria dos Conjuntos (União e Interseção de Conjuntos)
- Probabilidade da União de Eventos
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a probabilidade da interseção de dois eventos (P e Q) a partir das probabilidades individuais de cada evento e da probabilidade da união entre eles.
- Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é classificada como média porque não se trata de uma simples leitura de dados. Ela exige o conhecimento e a aplicação correta de uma fórmula específica da Teoria da Probabilidade (a regra da adição ou Princípio da Inclusão-Exclusão), que nem sempre é de memorização imediata.
- Gabarito:Letra A
- Explicação: A alternativa está correta pois, pela Teoria da Probabilidade da União, a porcentagem da interseção é calculada subtraindo a união (40%) da soma das partes individuais (36% + 16% = 52%).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
- Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: sabemos a porcentagem de pessoas que vivem na rua por causa de drogas (P), sabemos a porcentagem por decepção amorosa (Q) e sabemos a porcentagem total de pessoas que estão na rua por pelo menos um desses dois motivos (P ou Q). O enigma é descobrir qual a porcentagem de pessoas que vivem na rua pelos dois motivos ao mesmo tempo (P e Q).
- Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine uma festa. Você sabe que 36 pessoas gostam de rock (grupo P) e 16 pessoas gostam de samba (grupo Q). Se você simplesmente somar (36 + 16 = 52), você está contando duas vezes aquelas pessoas que gostam dos dois estilos. O enunciado nos dá uma pista crucial: o número total de pessoas que gostam de rock ou samba é de apenas 40. O verdadeiro desafio aqui é descobrir quem são os “fantasmas” na sua primeira conta — o grupo que foi contado duas vezes.
- Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Extrair as Pistas: Vamos coletar os três dados numéricos que o problema nos fornece: a probabilidade de P, a probabilidade de Q e a probabilidade de P ou Q.
- Escolher a Ferramenta Certa: Vamos usar a fórmula da Probabilidade da União (ou Princípio da Inclusão-Exclusão) para relacionar esses três dados.
- Resolver o Enigma: Vamos aplicar a fórmula para isolar o valor que queremos encontrar: a probabilidade da interseção (P e Q).
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a ferramenta essencial é o Princípio da Inclusão-Exclusão. Vamos desvendá-lo com um diálogo.
Diálogo Mentor-Aluno (🕵️♂️ & 🧠)
🕵️♂️: “Vamos lá. Segundo o gráfico, qual a porcentagem do grupo P (alcoolismo/drogas)?”
🧠: “36%.”
🕵️♂️: “E a do grupo Q (decepção amorosa)?”
🧠: “16%.”
🕵️♂️: “Ok. Se somarmos os dois, quanto dá?”
🧠: “36 + 16 = 52%.”
🕵️♂️: “Certo. Mas a questão nos diz que a probabilidade de uma pessoa pertencer a P ou Q é de apenas 40%. Nossa soma deu 52%. Onde está o ‘furo’ de 12% na nossa conta?”
🧠: “Hum… não sei.”
🕵️♂️: “O ‘furo’ são as pessoas que estão nos dois grupos ao mesmo tempo! Quando somamos 36% + 16%, nós contamos essa turma duas vezes. O valor real, 40%, contou essa turma apenas uma vez. Portanto, a diferença entre nossa soma (52%) e o valor real (40%) é exatamente o tamanho do grupo que foi contado em duplicidade!”
🧠: “Então a interseção é 52% – 40% = 12%!”
🕵️♂️: “Exato! Você acaba de deduzir a fórmula! A fórmula oficial é: P(P ∪ Q) = P(P) + P(Q) – P(P ∩ Q). Nós só a reorganizamos para encontrar a interseção.”
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos formalizar a aplicação da ferramenta.
- Execução do Plano (Seguindo o Roteiro):
- Extração das Pistas:
- Probabilidade do conjunto P, P(P) = 36% (do gráfico)
- Probabilidade do conjunto Q, P(Q) = 16% (do gráfico)
- Probabilidade da união de P e Q, P(P ∪ Q) = 40% (dado no enunciado)
- Aplicação da Ferramenta:
- Nós queremos a interseção, P(P ∩ Q).
- A fórmula é: P(P ∪ Q) = P(P) + P(Q) – P(P ∩ Q)
- Rearranjando para encontrar o que queremos: P(P ∩ Q) = P(P) + P(Q) – P(P ∪ Q)
- Cálculo Final:
- P(P ∩ Q) = 36% + 16% – 40%
- P(P ∩ Q) = 52% – 40%
- P(P ∩ Q) = 12%
- Extração das Pistas:
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é simplesmente somar as probabilidades (36 + 16 = 52) e escolher a alternativa E. A armadilha é esquecer a informação crucial fornecida no meio do enunciado: “…supondo-se que seja igual a 40% a probabilidade de que essa pessoa faça parte do conjunto P ou do conjunto Q…”. Esse número é a chave que nos força a corrigir a contagem dupla.
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A probabilidade da interseção de dois conjuntos é a soma das probabilidades individuais menos a probabilidade de sua união.
- Expectativa: Estamos procurando a alternativa que corresponda ao valor exato de 12%.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos confrontar o resultado do nosso cálculo com os suspeitos.
- Alternativa A: 12%.
- Análise de Correspondência: Este valor é o resultado exato da nossa investigação. Corresponde perfeitamente à nossa “Expectativa”.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- Alternativa B: 16%.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato simplesmente pegou o valor de um dos conjuntos (Q) e o marcou como resposta.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confusão de Dados. A resposta não é um dos valores iniciais, mas sim um valor derivado deles.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- Alternativa C: 20%.
- A “Narrativa do Erro”: Provavelmente um erro de cálculo, como 36% – 16% = 20%.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo / Aplicação Incorreta da Fórmula.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- Alternativa D: 36%.
- A “Narrativa do Erro”: Semelhante ao erro da alternativa B. O candidato pegou o valor do outro conjunto (P).
- O “Diagnóstico do Erro”: Confusão de Dados.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- Alternativa E: 52%.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato caiu na “Armadilha Clássica”. Ele simplesmente somou as duas probabilidades (36% + 16%) e ignorou o dado da união (40%).
- O “Diagnóstico do Erro”: Omissão de uma Etapa Crítica (não subtraiu a união para corrigir a contagem dupla).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa A (12%) é a correta, sendo a única que aplica corretamente o Princípio da Inclusão-Exclusão para encontrar a sobreposição entre os dois conjuntos de dados.
- Resumo-flash (A Imagem Mental): “Para achar quem está nas duas festas, some os convidados de cada uma e subtraia o total de gente que apareceu.”
- 🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo Princípio da Inclusão-Exclusão é uma ferramenta vital na Genética de Populações. Imagine que você está estudando duas mutações genéticas (P e Q) em uma população. Você sabe a frequência de cada mutação (P(P) e P(Q)) e a frequência de indivíduos que têm pelo menos uma delas (P(P ∪ Q)). Usando exatamente a mesma fórmula que usamos, um geneticista pode calcular a frequência de indivíduos que possuem ambas as mutações (P(P ∩ Q)). Isso é crucial para entender como os genes interagem e como as doenças genéticas se manifestam.
