Questão 163 caderno cinza ENEM 2014 3ª aplicação 2° Dia

Em uma plantação de eucaliptos, um fazendeiro aplicará um fertilizante a cada 40 dias, um inseticida para combater as formigas a cada 32 dias e um pesticida a cada 28 dias. Ele iniciou aplicando os três produtos em um mesmo dia. De acordo com essas informações, depois de quantos dias, após a primeira aplicação, os três produtos serão aplicados novamente no mesmo dia?

A) 100

B) 140

C) 400

D) 1 120

E) 35 840

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Mínimo Múltiplo Comum (MMC), Fatoração em Números Primos, Aritmética Básica.
Tema/Objetivo Geral: Sincronização de eventos periódicos.
Nível da Questão: Fácil para Médio. Embora o conceito de encontrar um ponto de encontro no futuro seja intuitivo, a execução eficiente para números como os apresentados exige o conhecimento de um método específico (cálculo do MMC por fatoração). Sem esse conhecimento, a resolução por tentativa e erro seria excessivamente demorada e impraticável em um contexto de prova.
Gabarito: D) 1 120. Este número é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os três ciclos de tempo (40, 32 e 28), representando o primeiro momento futuro em que os três eventos ocorrerão simultaneamente de novo.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo: A missão é determinar o menor número de dias que precisa passar para que a aplicação dos três produtos (fertilizante, inseticida e pesticida), que têm ciclos de tempo diferentes, coincida novamente em um mesmo dia.

Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine três linhas de ônibus que partem de um mesmo terminal exatamente ao meio-dia. A linha A parte a cada 40 minutos, a linha B a cada 32 minutos e a linha C a cada 28 minutos. O desafio é descobrir daqui a quantos minutos os três ônibus partirão juntos do terminal novamente pela primeira vez.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): O plano para solucionar este caso será:

Identificar a Ferramenta Correta: Reconhecer que o problema de encontrar o próximo “ponto de encontro” de ciclos é um caso clássico de Mínimo Múltiplo Comum (MMC).
Listar os Ciclos: Anotar os três períodos de tempo: 40, 32 e 28 dias.
Executar o Cálculo do MMC: Utilizar o método da fatoração simultânea em números primos para encontrar o MMC dos três números.
Conferir o Resultado: O valor encontrado será a resposta direta para a pergunta.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

A ferramenta-chave aqui é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Vamos entender por que ele é a escolha perfeita.

🕵️‍♂️ Dossiê do Encontro Marcado 🕵️‍♂️

Evento 1 (Fertilizante): Ocorre nos dias que são múltiplos de 40 (40, 80, 120, 160, …).
Evento 2 (Inseticida): Ocorre nos dias que são múltiplos de 32 (32, 64, 96, 128, 160, …).
Evento 3 (Pesticida): Ocorre nos dias que são múltiplos de 28 (28, 56, 84, 112, …).

A missão é encontrar um número que esteja presente nas três listas de múltiplos ao mesmo tempo. E, como a pergunta é sobre a próxima vez que isso acontecerá, busca-se o menor (Mínimo) desses números. Portanto, o que se procura é o Mínimo Múltiplo Comum.

A Ferramenta de Cálculo: A maneira mais eficiente de encontrar o MMC de três números é a fatoração simultânea.

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Aplicando a ferramenta da fatoração simultânea nos ciclos 40, 32 e 28.

Montagem do Dispositivo:

40, 32, 28 |

Execução da Fatoração: Divide-se pelos menores números primos possíveis.

40, 32, 28 | 2
20, 16, 14 | 2
10, 8, 7 | 2
5, 4, 7 | 2
5, 2, 7 | 2
5, 1, 7 | 5
1, 1, 7 | 7
1, 1, 1 |

Cálculo do MMC: Multiplica-se todos os fatores primos da coluna da direita.

MMC = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 7
MMC = 2⁵ × 5¹ × 7¹
MMC = 32 × 35
MMC = 1.120

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
A armadilha aqui não é de lógica, mas de estratégia e tempo. Um estudante sem o conhecimento do MMC pode pensar em testar as alternativas. No entanto, para verificar a alternativa (D) 1.120, seria necessário fazer três divisões: 1120 ÷ 40, 1120 ÷ 32 e 1120 ÷ 28. Sob a pressão do tempo, essas divisões são um convite ao erro de cálculo e consomem um tempo precioso. O conhecimento do método do MMC não é apenas uma forma de encontrar a resposta, mas sim a forma mais rápida e segura de fazê-lo.

A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O problema exige o cálculo do MMC entre 40, 32 e 28. A fatoração simultânea resulta em 2⁵ × 5 × 7, cujo produto é 1.120.
- Expectativa: A alternativa correta deve ser exatamente 1.120.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) 100, B) 140, C) 400

A Narrativa do Erro: Esses valores são múltiplos de apenas um ou dois dos números, mas não de todos. Por exemplo, 140 é múltiplo de 28 (140 = 5 x 28), mas não é de 32 nem de 40. São múltiplos comuns parciais, mas não totais.
Diagnóstico do Erro: Verificação Incompleta.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

D) 1 120

Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente à “Expectativa”. É o menor número que pode ser dividido sem deixar resto pelos três valores:
- 1120 ÷ 40 = 28 (Aplicação nº 28 do fertilizante)
- 1120 ÷ 32 = 35 (Aplicação nº 35 do inseticida)
- 1120 ÷ 28 = 40 (Aplicação nº 40 do pesticida)
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.

E) 35 840

A Narrativa do Erro: Este número é o resultado da multiplicação direta dos três ciclos (40 × 32 × 28 = 35.840). Este é um múltiplo comum, mas não é o mínimo. É um erro clássico em questões de MMC.
Diagnóstico do Erro: Confundir MMC com o Produto dos Termos.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento: Confirma-se que a resposta correta é a (D). Para qualquer problema que envolva a sincronização de ciclos ou a repetição simultânea de eventos, o MMC é a ferramenta matemática precisa para encontrar o “próximo encontro”.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Ciclos diferentes com um encontro marcado? A senha é sempre MMC!
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de sincronização de ciclos via MMC é fundamental na Astronomia. Para prever alinhamentos planetários (conjunções) ou eclipses, os astrônomos lidam com os períodos orbitais de diferentes corpos celestes. Por exemplo, se um planeta A completa sua órbita em 3 anos terrestres e um planeta B em 5 anos, eles voltarão às suas posições iniciais relativas um ao outro a cada MMC(3, 5) = 15 anos. A matemática usada para programar a aplicação de fertilizantes é a mesma usada para prever eventos cósmicos.