Ao alugar um carro, o locatário precisa pagar R$ 60,00 por dia e mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Para facilitar, as locadoras podem fazer uma relação entre o valor a ser pago (P) em reais em função dos quilômetros rodados, representado por x. Qual das expressões abaixo representa o valor pago pelos locatários em função dos quilômetros rodados?
A) P = 61,50x
B) P = 1,50x
C) P = 60 + 1,50x
D) P = 61,50 + 1,50x
E) P = 60x + 1,50
✍ Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Função Afim (Função Polinomial do 1º Grau)
Interpretação e Modelagem de Problemas Matemáticos
Tema/Objetivo Geral: Traduzir uma situação-problema com custos fixos e variáveis em uma expressão algébrica que represente uma função afim.
Nível da Questão: Fácil para Médio.
Detalhe: A questão é classificada desta forma por ser uma divisora de águas. Para o aluno que já compreende a estrutura de uma função afim, a resolução é imediata (fácil). Para quem ainda não dominou o conceito de “parte fixa” e “parte variável”, a questão se torna um desafio de interpretação e modelagem (médio).
Gabarito: C) P = 60 + 1,50x
Explicação Resumida: O preço total (P) é composto por uma parcela fixa de R$ 60,00, que não muda, somada a uma parcela variável de R$ 1,50, que depende diretamente do número de quilômetros rodados (x).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é criar uma “fórmula mágica” (uma expressão matemática) que permita a qualquer pessoa calcular o custo total do aluguel de um carro, para qualquer quantidade de quilômetros que ela dirija.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense na conta de um celular pós-pago. Você tem uma mensalidade fixa (ex: R$ 60,00) que você paga todo mês, mesmo que não use o telefone. Além disso, você paga um valor variável por cada minuto de ligação extra que fizer (ex: R$ 1,50 por minuto). A conta final é a soma dessas duas partes. O verdadeiro desafio aqui é identificar quem é fixo e quem varia na história do aluguel do carro.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
Nosso plano será o seguinte:
- Identificar os Custos: Separar e nomear o custo fixo e o custo variável no enunciado.
- Modelar o Custo Variável: Escrever uma expressão matemática para o custo que depende dos quilômetros rodados (x).
- Construir a Equação Final: Somar o custo fixo com a expressão do custo variável para chegar à fórmula do preço total (P).
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Conforme solicitado, esta é a nossa aula completa. A ferramenta para este caso é um Dossiê detalhado sobre a Função Afim, a identidade secreta por trás desta questão.
Dossiê: A Anatomia da Função Afim (Função do 1º Grau)
A “Identidade” Universal:
Toda função afim se apresenta na forma:
f(x) = ax + b (ou y = ax + b, ou no nosso caso, P = ax + b)
Os “Agentes” da Função (Quem é quem):
b – O Agente Fixo 📍 (Coeficiente Linear):
O que ele é? É o valor que NÃO MUDA. É o ponto de partida, a taxa fixa, a bandeirada do táxi, a mensalidade, o custo de entrada. É o que você paga mesmo que x seja zero.
No nosso caso: O custo fixo é a diária de R$ 60,00. Portanto, b = 60.
a – O Agente Variável 📈 (Coeficiente Angular):
O que ele é? É a taxa de variação. É o valor que você paga POR UNIDADE de x. É o preço por quilo, o custo por minuto, a velocidade de um carro. Ele sempre vem multiplicando a variável x, pois o valor total dele depende de x.
No nosso caso: O custo que varia é de R$ 1,50 por quilômetro. Portanto, a = 1,50.
x – A Variável Independente (A Escolha):
O que ela é? É o elemento que pode mudar, que a gente controla. São os quilômetros rodados, os minutos falados, o tempo decorrido.
No nosso caso: x representa os quilômetros rodados.
P (ou f(x)) – A Variável Dependente (O Resultado):
O que ela é? É o resultado final, o valor total que DEPENDE da sua escolha de x.
No nosso caso: P representa o preço total a ser pago.
“Modus Operandi” (A Montagem da Equação):
Juntando as peças: P = a ⋅ x + b
Substituindo com nossos dados: P = 1,50 ⋅ x + 60
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos executar nosso plano de ataque, aplicando o dossiê.
Execução Sequencial:
- Identificar Custo Fixo (b): O enunciado diz “pagar R$ 60,00 por dia”. Este valor não depende de quantos quilômetros você anda. É fixo.
b = 60 - Identificar e Modelar Custo Variável (ax): O enunciado diz “mais R$ 1,50 por quilômetro rodado”. O “por” é a palavra-chave que indica uma taxa, um coeficiente. O custo total desta parte será 1,50 multiplicado pelo número de quilômetros (x).
ax = 1,50x - Construir a Equação Final (P): O Preço total é a soma das duas partes.
P = Custo Fixo + Custo Variável
P = 60 + 1,50x
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora para quem não domina o modelo da função é a inversão de papéis. O candidato identifica os números 60 e 1,50, mas se confunde sobre quem multiplica o x e quem fica sozinho. Isso leva diretamente ao erro da alternativa E (P = 60x + 1,50), que significaria pagar R$ 1,50 de taxa fixa e R$ 60,00 por quilômetro, um valor absurdo na prática. Sempre se pergunte: “Qual valor depende da quilometragem?”. A resposta a essa pergunta será sempre o seu coeficiente a.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: A investigação provou que o problema descreve uma função afim, onde o preço total P é a soma de um termo fixo (60) e um termo variável (1,50x).
Expectativa: A alternativa correta deve ter a estrutura P = 60 + 1,50x ou P = 1,50x + 60.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) P = 61,50x
Narrativa do Erro: O candidato somou os dois valores (60 + 1,50) e transformou o resultado em uma taxa única, eliminando a ideia de custo fixo.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) P = 1,50x
Narrativa do Erro: O candidato considerou apenas a parte variável da cobrança, esquecendo-se completamente da taxa fixa diária.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) P = 60 + 1,50x
Análise de Correspondência: Esta expressão corresponde perfeitamente à nossa dedução. Ela modela corretamente um custo fixo de R$ 60,00 somado a um custo variável de R$ 1,50 por quilômetro.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) P = 61,50 + 1,50x
Narrativa do Erro: O candidato manteve o custo variável correto, mas criou um novo custo fixo somando os dois valores, essencialmente contando o 1,50 duas vezes.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) P = 60x + 1,50
Narrativa do Erro: Este é o erro da “Armadilha Clássica”. O candidato identificou os números, mas inverteu seus papéis, tratando a taxa fixa como variável e a variável como fixa.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa (C) é a correta, pois ela é a única que representa fielmente a estrutura de uma função afim (P = ax + b) aplicada ao cenário do problema.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Toda conta tem dois pedaços: o que você paga de cara (b) e o que você paga por uso (ax).
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): A mesma estrutura y = ax + b que calcula o aluguel de um carro é a base para a Cinemática na Física. A equação do Movimento Retilíneo Uniforme é S = S₀ + vt, onde:
S (Posição Final) é o nosso P (Preço Final).
S₀ (Posição Inicial) é o nosso b (Custo Fixo).
v (Velocidade, a taxa de variação da posição) é o nosso a (Custo por km, a taxa de variação do preço).
t (Tempo) é o nosso x (Quilômetros).
