Um fabricante planeja colocar no mercado duas linhas de cerâmicas para revestimento de pisos. Diversas formas possíveis para as cerâmicas foram apresentadas e decidiu-se que o conjunto P de formas possíveis seria composto apenas por figuras poligonais regulares. Duas formas geométricas que fazem parte de P são
A) triângulo e pentágono.
B) triângulo e hexágono.
C) triângulo e octógono.
D) hexágono e heptágono.
E) hexágono e octógono.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Plana: Polígonos Regulares
- Propriedades dos Ângulos Internos de Polígonos
- Tesselação (Pavimentação do Plano)
- Tema/Objetivo Geral: Aplicação de propriedades geométricas para resolver um problema prático de pavimentação.
- Nível da Questão: Difícil.
- Detalhe: A questão é classificada como difícil porque a informação crucial para sua resolução não está explícita no texto, mas sim implícita no contexto prático de “revestimento de pisos”. O aluno precisa inferir que “revestir um piso” significa cobrir uma superfície plana sem deixar vãos ou sobreposições, um conceito matemático chamado tesselação.
- Gabarito: B) triângulo e hexágono.
- Explicação Resumida: Apenas três polígonos regulares podem, sozinhos, cobrir um plano perfeitamente: o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular. A alternativa B é a única que apresenta duas formas pertencentes a este grupo exclusivo.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão não é apenas identificar dois polígonos regulares. A pista-chave está na aplicação: “cerâmicas para revestimento de pisos”. Isso significa que estamos procurando por formas que possam ser usadas para cobrir completamente uma superfície plana, encaixando-se perfeitamente umas nas outras sem deixar buracos.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense que você tem um chão infinito e um suprimento ilimitado de peças de LEGO, todas de um único formato (por exemplo, só triângulos ou só pentágonos). A pergunta é: “Quais formatos de peças, quando você os junta lado a lado, cobrem o chão perfeitamente sem deixar nenhum espacinho vazio?”. O verdadeiro desafio aqui é entender essa restrição física do “encaixe perfeito” e traduzi-la para uma regra matemática.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Decodificar a Pista Oculta: Entender que “revestimento de pisos” implica a necessidade de os ângulos das peças somarem 360º em cada vértice (ponto de encontro).
- Calcular as Ferramentas: Determinar o ângulo interno de cada um dos polígonos regulares mencionados nas alternativas (triângulo, pentágono, hexágono, etc.).
- Realizar o Teste de Encaixe: Verificar quais desses ângulos são divisores exatos de 360º. Apenas esses polígonos podem pavimentar um plano sozinhos.
- Julgar os Suspeitos: Analisar as alternativas para ver qual delas contém um par de polígonos que passaram no nosso teste.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a ferramenta crucial é um Dossiê Técnico sobre a “Regra de Ouro da Pavimentação”.
- Dossiê: A Regra dos 360° (O Critério do Encaixe Perfeito)
- O Princípio: Para que um polígono regular possa cobrir um plano sem deixar vãos (uma propriedade chamada tesselação monoédrica), a medida do seu ângulo interno deve ser um divisor exato de 360°. Isso garante que, ao juntar os vértices das peças, a soma dos ângulos feche um círculo completo.
- A Fórmula do Detetive: O ângulo interno (aᵢ) de um polígono regular com n lados é dado por: aᵢ = (n – 2) ⋅ 180° / n
Uma imagem poderosa pode transformar um conceito abstrato em uma memória inesquecível. A ilustração a seguir foi criada para visualizar a essência da nossa análise, tornando a ideia central clara e impactante:
(O Encaixe Perfeito vs. O Encaixe Falho). A imagem demonstra visualmente o conceito de tesselação. À esquerda, os hexágonos regulares, com seus ângulos internos de 120º, se encaixam perfeitamente (120º + 120º + 120º = 360º). À direita, os pentágonos regulares, com seus ângulos de 108º, inevitavelmente deixam um vão (108º + 108º + 108º = 324º), provando que são inadequados para o “revestimento de pisos”.
- Análise dos Polígonos Suspeitos:
| Polígono | Lados (n) | Cálculo do Ângulo Interno (aᵢ) | Ângulo (aᵢ) | 360° / aᵢ é inteiro? | Conclusão |
| :— | :-: | :— | :—: | :—: | :— |
| Triângulo | 3 | (3-2)⋅180/3 | 60° | Sim (360/60 = 6) | Pode pavimentar |
| Pentágono | 5 | (5-2)⋅180/5 | 108° | Não (360/108 ≈ 3,33) | Não pode pavimentar |
| Hexágono | 6 | (6-2)⋅180/6 | 120° | Sim (360/120 = 3) | Pode pavimentar |
| Heptágono | 7 | (7-2)⋅180/7 | ≈ 128,57° | Não | Não pode pavimentar |
| Octógono | 8 | (8-2)⋅180/8 | 135° | Não (360/135 = 2,66) | Não pode pavimentar |
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, com nosso dossiê e a evidência visual em mãos, podemos executar o plano.
- Execução Sequencial:
- A pista “revestimento de pisos” nos levou à Regra dos 360°.
- A imagem e os cálculos confirmaram que, entre os polígonos listados, apenas o triângulo regular (60°) e o hexágono regular (120°) têm ângulos que dividem 360° de forma exata.
- Isso significa que o conjunto P de formas possíveis deve incluir o triângulo e o hexágono. Outras formas, como o pentágono e o octógono, deixariam vãos e, portanto, não servem para o propósito do fabricante.
- 🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha aqui é a leitura literal e superficial, exatamente o que causa a confusão. O candidato lê “figuras poligonais regulares” e pensa: “Ora, um pentágono regular é um polígono regular, um octógono regular também é. Todas as alternativas contêm polígonos regulares!”. O erro fatal é ignorar o contexto prático de “revestimento de pisos”, que impõe a restrição geométrica oculta da tesselação. A questão testa a capacidade de inferir uma condição-limite a partir de um cenário do mundo real. - A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A investigação revelou que o conjunto P de “formas possíveis” não é qualquer polígono regular, mas apenas aqueles que podem pavimentar um plano. Nossa análise matemática e visual provou que apenas o triângulo e o hexágono (e o quadrado, que não é uma opção central aqui) satisfazem essa condição.
- Expectativa: A alternativa correta deve apresentar um par de polígonos que pertençam a esse clube exclusivo de “pavimentadores”.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos verificar cada alternativa contra a nossa lista de polígonos aprovados (Triângulo, Hexágono).
- A) triângulo e pentágono.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato aceita ambos como polígonos regulares, ignorando a restrição de pavimentação. O triângulo é válido, mas o pentágono não.
- Diagnóstico do Erro: Inclusão de Polígono Não Pavimentador.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- B) triângulo e hexágono.
- Análise de Correspondência: Esta alternativa se encaixa perfeitamente na nossa “Expectativa”. Tanto o triângulo regular quanto o hexágono regular passaram no nosso “Teste de Encaixe dos 360°”.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- C) triângulo e octógono.
- A “Narrativa do Erro”: O triângulo é válido, mas o octógono (com seu ângulo de 135°) deixaria vãos ao ser encaixado.
- Diagnóstico do Erro: Inclusão de Polígono Não Pavimentador.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- D) hexágono e heptágono.
- A “Narrativa do Erro”: O hexágono é válido, mas o heptágono, com seu ângulo “quebrado”, está completamente fora de cogitação.
- Diagnóstico do Erro: Inclusão de Polígono Não Pavimentador.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- E) hexágono e octógono.
- A “Narrativa do Erro”: O hexágono é válido, mas o octógono não.
- Diagnóstico do Erro: Inclusão de Polígono Não Pavimentador.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa (B) é a correta, pois o verdadeiro teste não era a definição de polígono regular, mas sua capacidade funcional de pavimentar um plano, uma propriedade que apenas o triângulo, o quadrado e o hexágono regular possuem.
- Resumo-flash (A Imagem Mental): Para um piso perfeito sem vão, o ângulo do ladrilho deve ser “amigo” do 360.
- 🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Essa mesma “Regra dos 360°” tem uma consequência fascinante na Química e na Cristalografia. A forma como os átomos se organizam em uma rede cristalina é, em essência, uma tesselação no espaço. É por isso que não existem cristais naturais que exibam uma simetria pentagonal perfeita (de 5 lados). A geometria do espaço simplesmente proíbe esse tipo de “encaixe” atômico, da mesma forma que proíbe um piso de pentágonos regulares. A regra que define o azulejo do seu banheiro é a mesma que define a estrutura de um floco de neve.
