Por muitos anos, o Brasil tem figurado no cenário mundial entre os maiores produtores e exportadores de soja. Entre os anos de 2010 e 2014, houve uma forte tendência de aumento da produtividade, porém, um aspecto dificultou esse avanço: o alto custo do imposto ao produtor associado ao baixo preço de venda do produto. Em média, um produtor gastava R$ 1 200,00 por hectare plantado, e vendia por R$ 50,00 cada saca de 60 kg. Ciente desses valores, um produtor pode, em certo ano, determinar uma relação do lucro L que obteve em função das sacas de 60 kg vendidas. Suponha que ele plantou 10 hectares de soja em sua propriedade, na qual colheu x sacas de 60 kg e todas as sacas foram vendidas.
Qual é a expressão que determinou o lucro L em função de x obtido por esse produtor nesse ano?
A) L(x) = 50x – 1 200
B) L(x) = 50x – 12 000
C) L(x) = 50x + 12 000
D) L(x) = 500x – 1 200
E) L(x) = 1 200x – 500
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática — Funções afins (lucro: receita − custo).
Tema/Objetivo Geral:
Determinar a expressão do lucro LLL em função do número xxx de sacas vendidas (cada saca de 60 kg), usando receita e custo fornecidos.
Nível da Questão:
Fácil — Médio.
Fácil pela aplicação direta da definição de lucro (L = receita − custo). Médio se considerar distrações com unidades (hectares × custo/hectare vs. preço por saca) — exige atenção à interpretação dos dados.
Gabarito:
✅ Alternativa B) L(x)=50x−12 000
Porque a receita é 50 reais por saca (50·x) e o custo total é 1 200 reais por hectare × 10 hectares = 12 000; o lucro é receita menos custo.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Qual é a expressão que determinou o lucro L em função de x obtido por esse produtor nesse ano?”
1.2 O que está sendo pedido?
Encontrar a função do lucro L(x) em reais, dependendo do número x de sacas vendidas.
1.3 Objetivo Cristalino
Determinar explicitamente L(x)= (receita total) − (custo total) em termos de x.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou de transformar o gasto por hectare em custo total (10 hectares), antes de montar a fórmula do lucro?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Receita (R): valor obtido pela venda das sacas.
Fórmula: R = preço_por_saca * quantidade_de_sacas.
- Custo total (C): gasto do produtor com a produção.
Dado: custo por hectare = R$ 1 200; hectares = 10.
Fórmula: C = 1 200 * 10 = 12 000.
- Lucro (L): diferença entre receita e custo.
Fórmula: L = R − C.
Exemplo cotidiano: se você vende 3 unidades a R$ 10 cada (receita = 3 * 10 = 30) e gastou R$ 12 no total, lucro = 30 − 12 = 18.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
O produtor plantou 10 hectares; gasta R$ 1 200 por hectare → custo total fixo de R$ 12 000. Cada saca vendida rende R$ 50. Se vendeu x sacas, a receita é 50x. Queremos o lucro em função de x.
3.2 Estratégia Geral
- Calcular custo total = 1 200 * 10.
- Calcular receita = 50 * x.
- Montar L(x) = receita − custo.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Cálculo do custo total:
C = 1 200 * 10 = 12 000
Cálculo da receita em função de x:
R = 50 * x = 50x
Cálculo do lucro L(x):
L(x) = R − C
L(x) = 50x − 12 000
4.2 Verificação Intermediária
Se x=0 : L(0) = 50·0 − 12 000 = −12 000 (prejuízo igual ao custo fixo).
Se x=240 : L(240) = 50·240 − 12 000 = 12 000 − 12 000 = 0 (ponto de equilíbrio: receita = custo).
4.3 Possível armadilha
Confundir custo por hectare (1 200) com custo por saca; lembrar que são 10 hectares — o custo total é 12 000, não 1 200. Também evitar multiplicar 50 por hectares em vez de por sacas.
4.4 Fechamento e Expectativa
Esperamos ver uma alternativa com forma 50x−12000; das opções, a correta será a que subtrai 12 000 da receita 50x.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) L(x)=50x−1 200
B) L(x)=50x−12 000
C) L(x)=50x+12 000
D) L(x)=500x−1 200
E) L(x)=1 200x−500
5.2 Justificativa Individual
- A) 50x − 1 200 – 🔴 Errada.
Subtrai R$ 1 200 (custo de apenas 1 hectare), não o custo dos 10 hectares. Para ficar certa, o enunciado teria que dizer que o produtor plantou 1 hectare, não 10. - B) 50x − 12 000 – 🟢 Correta.
Receita = 50x; custo total = 1 200 * 10 = 12 000; lucro = 50x − 12 000. - C) 50x + 12 000 – 🔴 Errada.
Soma o custo em vez de subtrair; representaria um ganho adicional fixo de R$ 12 000, o que não faz sentido aqui. Seria correta se 12 000 fosse um subsídio recebido (receita extra), mas não é o caso. - D) 500x − 1 200 – 🔴 Errada.
Usa 500 em vez de 50 como preço por saca; incorreto. Seria correta se o preço por saca fosse R$ 500 e houvesse apenas 1 hectare de custo 1 200. - E) 1 200x − 500 – 🔴 Errada.
Confunde custo por hectare com variável dependente de sacas; 1 200 é custo por hectare, não preço por saca. Além disso subtrai 500 (valor sem sentido nos dados).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio:
Calculamos receita = 50x e custo total = 1 200 * 10 = 12 000; o lucro é a diferença: L(x)=50x−12 000
6.2 Gabarito Reafirmado:
✅ Alternativa B) L(x)=50x−12 000
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍:
Sempre identifique corretamente as unidades (custo por hectare × hectares) e diferencie custo fixo de variável; monte L(x) = receita(x) − custo_total.
