Questão 166 caderno azul ENEM 2020 Digital 2° Dia

“1, 2, 3, GOL, 5, 6, 7, GOL, 9, 10, 11, GOL, 13, GOL, 15, GOL, 17, 18, 19, GOL, 21, 22, 23, GOL, 25, …”

Para a Copa do Mundo de Futebol de 2014, um bar onde se reuniam amigos para assistir aos jogos criou uma brincadeira. Um dos presentes era escolhido e tinha que dizer, numa sequência em ordem crescente, os números naturais não nulos, trocando os múltiplos de 4 e os números terminados em 4 pela palavra GOL. A brincadeira acabava quando o participante errava um termo da sequência.

Um dos participantes conseguiu falar até o número 103, respeitando as regras da brincadeira.

O total de vezes em que esse participante disse a palavra GOL foi

A) 20.

B) 28.

C) 30.

D) 35.

E) 40.

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Aritmética (Múltiplos de um número)
Raciocínio Lógico
Teoria dos Conjuntos (União e Interseção)

Tema/Objetivo Geral: Contagem de elementos em um intervalo numérico que obedecem a uma de duas condições dadas, com atenção à sobreposição entre elas.

Nível da Questão: Médio.

Detalhe do nível: A questão é considerada de nível médio porque não se trata apenas de contar um grupo de números. Ela envolve duas regras diferentes (“múltiplo de 4” e “terminado em 4”) e a principal dificuldade está em perceber que alguns números satisfazem ambas as regras e, portanto, não devem ser contados duas vezes.

Gabarito: Alternativa C.

A alternativa está correta porque, ao somar os 25 múltiplos de 4 com os 5 números terminados em 4 que ainda não haviam sido contados, o total de vezes que a palavra “GOL” foi dita é 30.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial
“…trocando os números naturais não nulos, trocando os múltiplos de 4 e os números terminados em 4 pela palavra GOL. (…) O total de vezes em que esse participante disse a palavra GOL foi”

1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para contarmos quantos números, no intervalo de 1 a 103, satisfazem pelo menos uma das seguintes condições: ser um múltiplo de 4 OU terminar com o algarismo 4.

1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar a quantidade total de números de 1 a 103 que foram substituídos pela palavra “GOL”.

1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou de tomar cuidado para não contar duas vezes os números que são múltiplos de 4 E terminam em 4, como o próprio 4 ou o 24?

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver esta questão, precisamos entender alguns conceitos-chave:

Múltiplos de um número: São os resultados da multiplicação desse número pela sequência de números inteiros.
- Como identificar: Para saber quantos múltiplos de um número X existem até um número Y, basta fazer a divisão inteira de Y por X.
- Exemplo: Quantos múltiplos de 3 existem até o número 20? 20 / 3 = 6 (e sobra 2). Portanto, existem 6 múltiplos de 3.

União de Conjuntos (a lógica do “OU”): O problema nos pede para contar números que estão no grupo A (múltiplos de 4) OU no grupo B (terminados em 4). A forma correta de contar isso é:
Total = (Total do Grupo A) + (Total do Grupo B) – (Total de itens que estão em A E B ao mesmo tempo)
- Exemplo do cotidiano: Numa sala, 10 pessoas usam óculos e 8 usam aparelho. Se 3 pessoas usam os dois, quantas pessoas usam pelo menos um deles? Não é 10 + 8 = 18. O correto é: 10 (óculos) + 8 (aparelho) – 3 (os dois) = 15 pessoas. Subtraímos os 3 para não contá-los em dobro.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você está em uma roda de amigos contando de 1 até 103. A regra é: se o número for da tabuada do 4 (4, 8, 12…) ou se ele terminar em 4 (4, 14, 24…), você não fala o número, mas grita “GOL!”. A questão quer saber quantos gritos de “GOL!” você daria ao todo.

3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será o mais seguro para não errar a contagem:

Primeiro, vamos contar quantos números são múltiplos de 4 no intervalo de 1 a 103.
Depois, vamos listar todos os números que terminam em 4 nesse mesmo intervalo.
Vamos identificar quais desses números que terminam em 4 já foram contados no primeiro grupo (porque também são múltiplos de 4).
Por fim, somamos o resultado do passo 1 com a contagem dos números “inéditos” do passo 3.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar nossa estratégia.

1. Contando o Grupo 1: Múltiplos de 4
Para saber quantos múltiplos de 4 existem de 1 a 103, fazemos a divisão inteira:
103 / 4 = 25 (com resto 3)
Isso significa que existem 25 múltiplos de 4 no intervalo. (O último é 4 * 25 = 100).

2. Listando o Grupo 2: Números terminados em 4
Vamos listar todos os números de 1 a 103 que terminam com o algarismo 4:
4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94.
(O próximo seria 104, que está fora do intervalo).
Temos um total de 10 números neste grupo.

3. Identificando a sobreposição (a “pegadinha”)
Agora, vamos ver quais números da lista acima (Grupo 2) também são múltiplos de 4 (já contados no Grupo 1):

4 é múltiplo de 4? Sim (4 / 4 = 1).
14 é múltiplo de 4? Não.
24 é múltiplo de 4? Sim (24 / 4 = 6).
34 é múltiplo de 4? Não.
44 é múltiplo de 4? Sim (44 / 4 = 11).
54 é múltiplo de 4? Não.
64 é múltiplo de 4? Sim (64 / 4 = 16).
74 é múltiplo de 4? Não.
84 é múltiplo de 4? Sim (84 / 4 = 21).
94 é múltiplo de 4? Não.
Então, os números {4, 24, 44, 64, 84} estão nos dois grupos.

4. Fazendo a soma correta:
Temos 25 múltiplos de 4. Dos 10 números terminados em 4, 5 deles já foram contados. Portanto, só precisamos adicionar os que ainda não foram: {14, 34, 54, 74, 94}, que são 5 números.
Total de “GOL” = (Total de múltiplos de 4) + (Números terminados em 4 que não são múltiplos de 4)
Total de “GOL” = 25 + 5
Total de “GOL” = 30

4.2 Verificação Intermediária
Nossa contagem cuidadosa, evitando a dupla contagem, nos levou ao número 30. Isso faz sentido, pois o número é menor que a soma simples dos dois grupos (25 + 10 = 35).

4.3 Possível armadilha
A armadilha mais clara é somar os dois grupos diretamente. Você calcularia 25 múltiplos de 4, contaria 10 números terminados em 4 e faria 25 + 10 = 35. Isso te levaria direto para a alternativa D, mas estaria errado, pois você teria contado os números 4, 24, 44, 64 e 84 duas vezes!

4.4 fechamento e expectativa
O cálculo, feito com atenção à sobreposição dos grupos, resultou em 30. Agora, vamos procurar esse valor nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
a) 20
b) 28
c) 30
d) 35
e) 40

5.2 Justificativa Individual

a) 20 – 🔴 Incorreta. Valor muito baixo, talvez contando apenas uma parte dos múltiplos.
b) 28 – 🔴 Incorreta. Provavelmente resultado de algum erro de contagem ou subtração.
c) 30 – 🟢 Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo, que soma os 25 múltiplos de 4 com os 5 números terminados em 4 que não são múltiplos.
d) 35 – 🔴 Incorreta. Este é o resultado da armadilha principal: somar 25 (múltiplos de 4) com 10 (terminados em 4) sem subtrair a interseção.
e) 40 – 🔴 Incorreta. Valor muito alto, sem justificativa clara no cálculo.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao contar separadamente os elementos de cada conjunto (múltiplos de 4 e terminados em 4), identificar os elementos em comum (a interseção) e realizar a soma dos conjuntos de forma a não contar nenhum elemento duas vezes.

6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C), 30.

6.3 Resumo Final para Revisão
🔍 Em problemas de contagem com a palavra “OU”, desconfie sempre da sobreposição! A estratégia mais segura é: conte o primeiro grupo, e depois conte apenas os elementos do segundo grupo que você ainda não contou.