Com o objetivo de reformar os tambores cilíndricos de uma escola de samba, um alegorista decidiu colar adereços plásticos na forma de losango, como ilustrado na Figura 1, nas faces laterais dos tambores. Nesta colagem, os vértices opostos P e Q do adereço deverão pertencer às circunferências do topo e da base do tambor cilíndrico, respectivamente, e os vértices opostos R e S deverão coincidir após a colagem do adereço no tambor, conforme ilustra a Figura 2. Considere que o diâmetro do cilindro correspondente ao tambor meça 0,4 metro. Utilize 3,1 como aproximação para π.
A diagonal RS do adereço a ser confeccionado pelo alegorista deve medir, em metro,
A) 0,124.
B) 0,400.
C) 0,496.
D) 1,240.
E) 2,480.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Cilindro)
- Geometria Plana (Comprimento da Circunferência)
- Visualização Espacial (Planificação do Cilindro)
- Interpretação de Enunciado e Imagem
- Tema/Objetivo Geral: Relacionar uma medida linear de uma figura plana (a diagonal de um losango) com uma medida curvilínea em um sólido tridimensional (o perímetro da base de um cilindro).
- Nível da Questão
- Médio. A questão não se resolve com a aplicação direta de uma fórmula óbvia. Ela exige uma habilidade de visualização espacial para compreender o que acontece quando o losango plano é “enrolado” no tambor. O passo crucial é perceber que a diagonal RS se transforma na circunferência do cilindro.
- Gabarito
- D) 1,240. Esta alternativa está correta porque o comprimento da diagonal RS do adereço plano deve ser exatamente igual ao comprimento da circunferência da base do tambor para que os pontos R e S se encontrem.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir o comprimento da diagonal RS de um adesivo em forma de losango. A grande pista é que, quando o adesivo é colado em um tambor, as pontas R e S se tocam perfeitamente, dando a volta completa no tambor.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você quer colocar um cinto em uma pessoa. A pessoa é o tambor e o cinto é a diagonal RS. Para que a fivela do cinto encontre o último furo sem sobrar nem faltar, o comprimento total do cinto precisa ser exatamente igual à medida da cintura da pessoa. A nossa tarefa é calcular a “medida da cintura” do tambor.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Decifrar a Pista Chave: Entender o que a frase “os vértices opostos R e S deverão coincidir” significa em termos matemáticos.
- Identificar a Medida Necessária: Concluir que a medida que procuramos é o comprimento da circunferência da base do tambor.
- Selecionar a Ferramenta Correta: Escolher a fórmula matemática para o comprimento da circunferência.
- Executar o Cálculo: Substituir os valores dados na fórmula e encontrar o resultado.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta principal é a fórmula do Comprimento da Circunferência. É a “fita métrica” para medir qualquer coisa redonda.
🕵️♂️ Dossiê Investigativo: O Segredo do Tambor
- A Pista Central (Evidência A): “os vértices opostos R e S deverão coincidir após a colagem”.
- Tradução da Pista: A distância em linha reta entre R e S no adesivo plano é “dobrada” até se tornar o contorno completo da parte redonda do tambor.
- Conclusão Forense: Comprimento da Diagonal RS = Comprimento da Circunferência do Tambor.
- Fórmulas de Interrogatório (As Ferramentas Certas):
- C = 2 × π × r (onde r é o raio)
- C = π × d (onde d é o diâmetro) -> Esta é mais direta, pois o problema nos deu o diâmetro!
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano, seguindo as conclusões do dossiê.
- 1. Extraindo os Dados da Cena do Crime:
- Diâmetro do cilindro (d) = 0,4 m.
- Valor de Pi (π) a ser usado ≈ 3,1.
- 2. Aplicando a Ferramenta Correta:
- Usaremos a fórmula mais eficiente: C = π × d.
- Comprimento da Diagonal RS = 3,1 × 0,4
- 3. Calculando o Resultado:
- Comprimento da Diagonal RS = 1,24 m.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! Existem duas armadilhas clássicas nesta cena do crime:
- Confusão de Fórmulas: O erro mais comum é confundir a fórmula de comprimento da circunferência (C = 2πr) com a fórmula de área do círculo (A = πr²). Lembre-se: estamos medindo um contorno, uma “linha”, portanto, não há expoentes no raio (r²). O resultado de usar a fórmula errada (3,1 × 0,2² = 0,124) leva direto à alternativa A.
- Confusão de Medidas: Outra isca é usar o diâmetro (0,4) na fórmula que pede o raio (C = 2πr) sem antes dividir o diâmetro por dois. Isso levaria ao cálculo 2 × 3,1 × 0,4 = 2,48, que é a alternativa E.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A diagonal RS do adereço, quando enrolada, torna-se a circunferência da base do tambor. Usando a fórmula C = π × d, calculamos 3,1 × 0,4 para encontrar o comprimento necessário.
- Expectativa: O valor da alternativa correta deve ser 1,240.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 0,124.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calculou a área de um círculo de raio 0,2 m, em vez do seu comprimento. A = πr² = 3,1 × (0,2)² = 0,124.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Comprimento com Área. É a armadilha nº 1.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 0,400.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato simplesmente usou o valor do diâmetro, ignorando a necessidade de calcular a volta completa.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Diâmetro com Circunferência.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 0,496.
- A “Narrativa do Erro”: Este valor não surge de um erro lógico comum, provavelmente de uma aplicação incorreta das fórmulas ou um erro de cálculo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Fuga ao Raciocínio Lógico.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 1,240.
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente à nossa investigação (3,1 × 0,4).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- E) 2,480.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato usou a fórmula C = 2πr, mas inseriu o diâmetro (0,4) no lugar do raio, calculando 2 × 3,1 × 0,4.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Raio com Diâmetro na Fórmula. É a armadilha nº 2.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a resposta correta é a alternativa D, pois o ato de enrolar o adereço transforma a medida linear da diagonal RS na medida circular da circunferência do tambor.
Resumo-flash (A Imagem Mental): “A diagonal do adesivo é o cinto do tambor: seu comprimento é a medida da cintura.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O princípio de “planificar” uma superfície curva para entender suas dimensões é fundamental na Cartografia, a ciência de fazer mapas. Para criar um mapa plano do nosso planeta esférico, os cartógrafos projetam a superfície curva da Terra em um plano (como um cilindro que é depois “desenrolado”). A linha de um meridiano no globo se torna uma linha reta vertical no mapa. Você não apenas resolveu um problema sobre um tambor, você usou a mesma lógica espacial que permite a criação de mapas-múndi e sistemas de GPS.
