Um reservatório de água com capacidade para 20 mil litros encontra-se com 5 mil litros de água num instante inicial (t) igual a zero, em que são abertas duas torneiras. A primeira delas é a única maneira pela qual a água entra no reservatório, e ela despeja 10 L de água por minuto; a segunda é a única maneira de a água sair do reservatório. A razão entre a quantidade de água que entra e a que sai, nessa ordem, é igual a 5/4 .
Considere que Q(t) seja a expressão que indica o volume de água, em litro, contido no reservatório no instante t, dado em minuto, com t variando de 0 a 7 500.
A expressão algébrica para Q(t) é
A) 5 000 + 2t
B) 5 000 – 8t
C) 5 000 – 2t
D) 5 000 + 10t
E) 5 000 – 2,5t
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função do 1º Grau (Função Afim)
- Razão e Proporção
- Modelagem Matemática
- Interpretação de Problemas
- Tema/Objetivo Geral: Construir uma expressão algébrica (uma função linear) que modele a variação do volume de água em um reservatório ao longo do tempo, considerando fluxos de entrada e saída.
- Nível da Questão
- Médio. A questão não envolve matemática complexa, mas exige uma sequência de passos lógicos: interpretar a razão para encontrar uma variável desconhecida (vazão de saída), calcular a vazão líquida (o saldo) e, finalmente, montar a função. A necessidade de combinar esses conceitos eleva a dificuldade para além do básico.
- Gabarito
- A) 5 000 + 2t. Esta expressão está correta, pois parte do volume inicial (5.000 L) e adiciona a variação líquida de volume, que é um ganho de 2 litros a cada minuto (t).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é criar uma fórmula matemática que funcione como um “medidor de volume em tempo real”. A fórmula precisa nos dizer exatamente quantos litros de água existem no reservatório em qualquer minuto t, sabendo o volume inicial e as taxas de entrada e saída.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense no reservatório como uma conta bancária.
O saldo inicial é de R$ 5.000,00.
Todo mês entra um salário fixo (a água da torneira 1).
Todo mês sai uma conta fixa (a água da torneira 2).
Nossa tarefa é criar a fórmula que calcula o saldo da conta em qualquer mês t. Para isso, precisamos saber qual é o “saldo mensal” da operação (salário – conta).
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Descobrir a Vazão de Saída: Usar a razão 5/4 fornecida para calcular quantos litros de água saem por minuto.
- Calcular a Vazão Líquida: Determinar o “saldo” de água por minuto (o que entra menos o que sai).
- Construir a Fórmula Final: Montar a expressão para o volume total, combinando o volume inicial com a vazão líquida multiplicada pelo tempo.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta principal aqui é a estrutura da Função do 1º Grau, que descreve perfeitamente qualquer situação com um ponto de partida fixo e uma taxa de variação constante. Vamos usar um Diálogo Mentor-Aluno para clarear o conceito:
Diálogo Mentor-Aluno (🕵️♂️ & 🧠):
- 🕵️♂️: “Nós temos uma situação onde o volume muda a uma taxa constante a cada minuto. Qual modelo matemático descreve isso?”
- 🧠: “Uma Função do 1º Grau, a famosa y = ax + b!”
- 🕵️♂️: “Perfeito! No nosso caso, a fórmula será Q(t) = (Taxa de Variação) × t + (Volume Inicial). Já temos o ‘Volume Inicial’, que é 5.000. O que precisamos descobrir?”
- 🧠: “A ‘Taxa de Variação’! Mas ela não é 10, nem a vazão de saída, certo?”
- 🕵️♂️: “Exato! Essa é a alma do problema. A ‘Taxa de Variação’ que nos interessa é a líquida, o resultado final da briga entre a torneira que enche e a que esvazia. É essa taxa que vamos calcular.”
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso Plano de Ataque.
- 1. Descobrindo a Vazão de Saída:
- O enunciado diz: “A razão entre a quantidade de água que entra e a que sai, nessa ordem, é igual a 5/4“.
- Matematicamente: (Vazão de Entrada) / (Vazão de Saída) = 5 / 4
- Sabemos que a vazão de entrada é 10 L/min. Substituindo:
10 / (Vazão de Saída) = 5 / 4 - Multiplicando em cruz:
5 × (Vazão de Saída) = 10 × 4
5 × (Vazão de Saída) = 40 - Isolando a vazão de saída:
Vazão de Saída = 40 / 5 = 8 L/min.
- 2. Calculando a Vazão Líquida:
- Esta é a “Taxa de Variação” que procurávamos.
- Vazão Líquida = Vazão de Entrada – Vazão de Saída
- Vazão Líquida = 10 L/min – 8 L/min = +2 L/min.
- O sinal positivo confirma que, no final das contas, o reservatório está enchendo.
- 3. Construindo a Fórmula Final:
- Usando o modelo: Q(t) = (Vazão Líquida) × t + (Volume Inicial)
- Substituindo os valores que encontramos:
Q(t) = 2 × t + 5000 - Que é o mesmo que Q(t) = 5000 + 2t.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais comum em problemas de vazão é focar em apenas um dos fluxos. Um candidato apressado poderia ver “entra 10 L de água por minuto” e pular para a conclusão de que a fórmula é 5000 + 10t (Alternativa D). Outro poderia calcular a saída de 8 L e pensar que a fórmula é 5000 – 8t (Alternativa B). A regra de ouro é: sempre que houver entradas e saídas simultâneas, o que realmente importa para a variação total é o resultado líquido, o saldo da operação.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Usamos a proporção 5/4 para determinar que a vazão de saída era de 8 L/min. Comparamos com a entrada de 10 L/min para encontrar uma vazão líquida positiva de 2 L/min. Construímos a função linear partindo do volume inicial de 5000 L e adicionando 2 litros para cada minuto t.
- Expectativa: A alternativa correta deve ser a expressão 5000 + 2t.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 5 000 + 2t
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente à nossa dedução, representando o volume inicial mais o ganho líquido de 2 litros por minuto.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- B) 5 000 – 8t
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calcula corretamente a vazão de saída (8 L/min), mas a utiliza como se fosse a única vazão e como se estivesse esvaziando o tanque.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Vazão Parcial com Vazão Líquida.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 5 000 – 2t
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calcula corretamente a vazão líquida (2 L/min), mas inverte o sinal, tratando o ganho como uma perda.
- O “Diagnóstico do Erro”: Inversão de Sinal.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 5 000 + 10t
- A “Narrativa do Erro”: O candidato ignora a torneira de saída e considera apenas a de entrada.
- O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo (Omissão de Variável). É a armadilha principal.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 5 000 – 2,5t
- A “Narrativa do Erro”: O candidato interpreta a razão de forma incorreta, talvez fazendo 10 / 4 = 2,5.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Interpretação da Razão.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a resposta correta é a alternativa A, pois a modelagem correta de um sistema dinâmico deve sempre considerar a taxa de variação líquida, que é o saldo entre entradas e saídas.
Resumo-flash (A Imagem Mental): “Volume final = O que tinha no início + (o que entra – o que sai) a cada minuto.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): A mesma estrutura de raciocínio que você usou (Valor Inicial + Taxa Líquida × Tempo) é a base para estudos de crescimento populacional em Biologia. A população de uma espécie (Q(t)) é igual à população inicial (5000) mais o resultado da (Taxa de Natalidade – Taxa de Mortalidade) multiplicado pelo tempo (t). A “entrada de água” é o nascimento; a “saída de água” é a morte. Você não apenas resolveu um problema sobre um tanque de água, você aprendeu o princípio matemático que descreve como as populações crescem ou diminuem no nosso planeta.
