As ruas de uma cidade estão representadas por linhas horizontais e verticais na ilustração. Para um motorista trafegando nessa cidade, a menor distância entre dois pontos não pode ser calculada usando o segmento ligando esses pontos, mas sim pela contagem do menor número de quadras horizontais e verticais necessárias para sair de um ponto e chegar ao outro. Por exemplo, a menor distância entre o ponto de táxi localizado no ponto O e o cruzamento das ruas no ponto A, ambos ilustrados na figura, é de 400 metros.
Um indivíduo solicita um táxi e informa ao taxista que está a 300 metros do ponto O, segundo a regra de deslocamentos citada, em uma determinada esquina. Entretanto, o motorista ouve apenas a informação da distância do cliente, pois a bateria de seu celular descarregou antes de ouvir a informação de qual era a esquina.
Quantas são as possíveis localizações desse cliente?
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Plano Cartesiano
- Raciocínio Lógico-Combinatório
- Princípio Fundamental da Contagem
- Interpretação de Enunciado
- Tema/Objetivo Geral: Identificar todos os pontos em uma grade que estão a uma distância fixa de um ponto de origem, utilizando uma métrica de distância não-euclidiana (conhecida como “Distância de Manhattan”).
- Nível da Questão
- Médio. A questão exige que o candidato ignore a intuição da “distância em linha reta” e aplique rigorosamente a regra de deslocamento em blocos. A solução envolve uma contagem sistemática de casos, onde é fácil se perder ou esquecer alguma possibilidade, elevando o desafio para além do nível fácil.
- Gabarito
- C) 12. A alternativa está correta porque existem exatamente 12 cruzamentos (esquinas) cuja soma dos deslocamentos horizontais e verticais a partir do ponto O é igual a 300 metros (ou 3 quadras).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é atuar como o taxista. Recebemos uma informação crucial, mas incompleta: o cliente está a exatamente 300 metros de distância, mas não sabemos em qual direção. Nossa tarefa é mapear todas as esquinas possíveis onde o cliente poderia estar, respeitando a regra de que a distância é medida “dobrando esquinas”, não em linha reta.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que o ponto O é uma pedra caindo em um lago congelado, mas as ondas de choque não se propagam em círculos, e sim em “diamantes”, seguindo as linhas da grade. O cliente está em algum ponto na crista da onda que viajou exatas 3 quadras. Nossa missão é encontrar todos os pontos que formam a borda desse “diamante”.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Converter a Distância: Primeiro, vamos traduzir a distância de 300 metros para a unidade da nossa grade: número de quadras.
- Listar as Combinações de Movimento: Vamos descobrir todas as maneiras de combinar movimentos horizontais e verticais para somar o total de quadras necessárias.
- Mapear as Localizações: Para cada combinação, vamos identificar no mapa todos os pontos correspondentes, considerando todas as direções (cima, baixo, esquerda, direita).
- Contar os Pontos: Somar o número total de localizações únicas encontradas.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta que usaremos é a Análise de Casos. A distância total é a soma dos movimentos, então vamos quebrar o problema em partes menores e mais fáceis de contar.
🕵️♂️ Dossiê: O Deslocamento do Cliente
- Distância em Metros: 300 m
- Tamanho da Quadra: 100 m
- Distância em Quadras: 300 m / 100 m/quadra = 3 quadras
- A Lei do Movimento: |Quadras Horizontais| + |Quadras Verticais| = 3
Vamos agora criar um Fluxograma de Raciocínio (em Texto) para não nos perdermos:
- Objetivo: Encontrar todos os pontos que exigem 3 “passos” para serem alcançados.
- Caso 1: Movimento puro (toda a distância em uma única direção).
- 3 passos horizontais e 0 verticais.
- 0 passos horizontais e 3 verticais.
- Caso 2: Movimento misto.
- 2 passos horizontais e 1 vertical.
- 1 passo horizontal e 2 verticais.
- Caso 1: Movimento puro (toda a distância em uma única direção).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano e preencher o fluxograma.
- Caso 1.1: 3 quadras na horizontal e 0 na vertical
- 3 quadras para a direita de O. (1 ponto)
- 3 quadras para a esquerda de O. (1 ponto)
- Subtotal: 2 pontos
- Caso 1.2: 0 quadras na horizontal e 3 na vertical
- 3 quadras para cima de O. (1 ponto)
- 3 quadras para baixo de O. (1 ponto)
- Subtotal: 2 pontos
- Caso 2.1: 2 quadras na horizontal e 1 na vertical
- 2 para a direita e 1 para cima. (1 ponto)
- 2 para a direita e 1 para baixo. (1 ponto)
- 2 para a esquerda e 1 para cima. (1 ponto)
- 2 para a esquerda e 1 para baixo. (1 ponto)
- Subtotal: 4 pontos
- Caso 2.2: 1 quadra na horizontal e 2 na vertical
- 1 para a direita e 2 para cima. (1 ponto)
- 1 para a direita e 2 para baixo. (1 ponto)
- 1 para a esquerda e 2 para cima. (1 ponto)
- 1 para a esquerda e 2 para baixo. (1 ponto)
- Subtotal: 4 pontos
- Totalização: Somando todos os subtotais: 2 + 2 + 4 + 4 = 12 pontos possíveis.
Visualizando esses pontos no mapa, temos:
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora é pensar em um círculo ou em uma linha reta. Se a pergunta fosse sobre a distância em linha reta, usaríamos o Teorema de Pitágoras e as possibilidades seriam diferentes. A segunda armadilha é a contagem incompleta: focar apenas nos eixos (cima, baixo, esquerda, direita) e esquecer os pontos “diagonais” (que exigem movimentos mistos), o que levaria à resposta errada “4”.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Convertemos 300m em 3 quadras de deslocamento total. Sistematicamente, decompusemos “3” em todas as somas possíveis de movimentos horizontais e verticais (3+0, 2+1, 1+2, 0+3) e, para cada combinação, consideramos todas as direções, totalizando 12 locais únicos.
- Expectativa: A alternativa correta deve ser exatamente 12.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 4
- A “Narrativa do Erro”: O candidato considera apenas os movimentos “puros” ao longo dos eixos: 3 quadras para cima, 3 para baixo, 3 para a esquerda e 3 para a direita.
- O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo (Análise Incompleta). Ignora todos os casos de movimento misto.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 8
- A “Narrativa do Erro”: O candidato considera apenas os casos de movimento misto (2H+1V e 1H+2V), que somam 4 + 4 = 8 pontos.
- O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo (Análise Incompleta). Ignora os casos de movimento puro.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 12
- Análise de Correspondência: Esta alternativa é a soma de todos os casos possíveis que investigamos (2 + 2 + 4 + 4). Encaixa-se perfeitamente em nossa dedução.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- D) 16
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode pensar em um quadrado 4×4 de possibilidades ao redor do ponto O, talvez por uma aplicação incorreta do princípio multiplicativo (4 direções x 4?).
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Contagem / Generalização Excessiva.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 20
- A “Narrativa do Erro”: Semelhante à alternativa D, é um erro de contagem que superestima o número de pontos, sem uma lógica clara que o justifique.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Contagem.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a resposta correta é a alternativa C, pois a “geometria do taxista” revela um “diamante” de 12 pontos possíveis a 3 quadras de distância da origem.
Resumo-flash (A Imagem Mental): “A distância do táxi não é um círculo de raio 3, mas um diamante de lado 3.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O tipo de distância que você calculou tem um nome oficial: “Distância de Manhattan” ou “Geometria do Táxi”. Esse conceito vai muito além de mapas de cidades e tem aplicações surpreendentes em Ciência da Computação e Biologia. Por exemplo, em algoritmos de visão computacional, a Distância de Manhattan é usada para medir a similaridade entre duas imagens, comparando a “distância” entre as cores dos pixels. Em bioinformática, é usada para comparar sequências de DNA, onde a “distância” pode representar o número de mutações entre dois genes.
Você não resolveu apenas um problema de táxi, você aplicou um princípio usado para analisar imagens digitais e o código da vida!
