Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja necessária a construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. Por questões relacionadas ao tipo de solo a ser escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determinada parábola, como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da parábola que contém esse arco. Considere um plano cartesiano com centro no ponto médio da base da abertura do túnel, conforme Figura 2.
A equação que descreve a parábola é
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Função Quadrática (Função do 2º Grau)
- Análise de Gráfico da Parábola (Concavidade, Vértice e Raízes)
- Geometria Analítica
- Tema/Objetivo Geral: Identificar a equação correta que representa uma parábola a partir de sua representação gráfica num plano cartesiano.
- Nível da Questão:
- Médio. A questão pode ser resolvida tanto por um método de construção da equação (mais difícil e demorado) quanto por um método de eliminação (mais rápido e estratégico). A dificuldade reside em extrair corretamente as informações visuais do gráfico e traduzi-las nas propriedades matemáticas da equação da parábola.
- Gabarito:
- A) A alternativa está correta pois é a única equação que satisfaz simultaneamente todas as três condições impostas pelo gráfico: concavidade para baixo (a < 0), intercepto em y = 10 (c = 10) e raízes em x = ±5.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é olhar para o desenho da parábola e descobrir qual das cinco equações apresentadas é a “identidade secreta” desse desenho.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense no gráfico como o retrato falado de um suspeito, e nas equações como as fichas criminais de cinco indivíduos. O verdadeiro desafio aqui não é criar um retrato do zero, mas sim atuar como um agente de reconhecimento: comparar as características-chave do retrato falado (os pontos importantes do gráfico) com as informações de cada ficha (as equações) para encontrar a correspondência perfeita.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Interrogar o Gráfico: Vamos extrair 3 informações cruciais do “retrato falado” (o gráfico).
- Criar uma Lista de Pistas: Traduziremos essas informações em 3 “regras” ou “características” que a equação correta deve obedecer.
- Processo de Eliminação: Usaremos essa lista para eliminar sistematicamente os “suspeitos” (as alternativas) que não se encaixam no perfil.
- Confirmar o Culpado: Faremos um teste final com a alternativa restante para garantir que ela é a correta.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para organizar nossas pistas, vamos montar um dossiê de investigação que conecta as evidências visuais do gráfico com as propriedades da equação da parábola y = ax² + bx + c.
Dossiê de Investigação da Parábola
| Pista Visual (No Gráfico) | Interpretação (O que significa?) | Tradução para a equação y = ax² + bx + c |
| A “boca” da parábola | Se está virada para baixo, a parábola é “triste”. | O coeficiente a (quem acompanha o x²) é negativo. |
| O ponto que cruza o eixo Y | É o intercepto vertical da parábola. | O coeficiente c (o termo independente) é o valor desse ponto. |
| Os pontos que cruzam o eixo X | São as raízes ou “zeros” da função. | São os valores de x que fazem a equação resultar em y=0. |
Com este dossiê, estamos prontos para a perícia!
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano, usando cada pista para eliminar os suspeitos metodicamente.
- 🔎 Análise da Pista 1: A Concavidade
- Evidência: O gráfico mostra uma parábola com a “boca” virada para baixo.
- Consequência: Pelo nosso dossiê, o coeficiente a da equação deve ser negativo.
- Ação: Eliminamos as alternativas (B) e (D), pois seus coeficientes a são positivos (2/5 e 1, respectivamente).
- Suspeitos restantes: (A), (C), (E).
- 🔎 Análise da Pista 2: O Intercepto em Y
- Evidência: O gráfico cruza o eixo Y exatamente no ponto y = 10.
- Consequência: O coeficiente c (termo independente) da equação deve ser +10.
- Ação: Eliminamos a alternativa (E), cujo c é +25.
- Suspeitos restantes: (A), (C).
- 🔎 Análise da Pista 3: As Raízes (A Prova Final)
- Evidência: O gráfico cruza o eixo X nos pontos x = -5 e x = 5. Isso significa que o par (5, 0) deve pertencer à função.
- Consequência: Se substituirmos x = 5 na equação correta, o resultado para y deve ser 0.
- Ação (Interrogatório final):
- Testando a (C) y = -x² + 10:
y = -(5)² + 10
y = -25 + 10
y = -15
Resultado incorreto! Deveria ser 0. A alternativa (C) está descartada. - Testando a (A) y = -(2/5)x² + 10:
y = -(2/5) * (5)² + 10
y = -(2/5) * 25 + 10
y = -50/5 + 10
y = -10 + 10 = 0
Resultado perfeito! A alternativa (A) é a correta.
- Testando a (C) y = -x² + 10:
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Cuidado! A armadilha mais sedutora aqui é a “memória cruzada” entre os conceitos de diferentes funções. A mente pode se lembrar que “o termo independente corta o eixo Y”, mas se confundir sobre qual termo.
- Função de 1º Grau (y = ax + b): O coeficiente b é o intercepto Y.
- Função de 2º Grau (y = ax² + bx + c): O coeficiente c é o intercepto Y.
Muitos erram por associar b a essa função por hábito da reta. Defenda-se com calma: antes de resolver, visualize a forma geral da equação y = ax² + bx + c e associe corretamente: ‘c’ de ‘corta’ o eixo Y na parábola.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Usamos a concavidade para determinar o sinal do coeficiente a. Usamos o intercepto Y para determinar o valor do coeficiente c. E, por fim, usamos uma das raízes para testar as alternativas restantes e encontrar a única equação que satisfaz todas as condições.
- Expectativa: O “retrato falado” da resposta é uma equação onde a < 0, c = 10 e que resulta em y = 0 quando x = 5.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) y = – (2/5)x² + 10
- Análise de Correspondência: Passou em todos os nossos três testes de verificação: concavidade para baixo (a = -2/5), intercepto em Y correto (c = +10) e raiz correta (y=0 para x=5). Corresponde perfeitamente ao retrato falado.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- B) y = (2/5)x² + 10
- A “Narrativa do Erro”: O candidato ignora ou interpreta mal a concavidade da parábola.
- O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta com a Concavidade. O gráfico mostra a<0.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) y = -x² + 10
- A “Narrativa do Erro”: O candidato realiza as duas primeiras verificações (a<0 e c=+10), que estão corretas, mas falha em executar o passo final de verificação com a raiz, caindo na armadilha de não fazer o teste completo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Falha na Verificação do Ponto (Raiz). A equação não contém os pontos (5,0) e (-5,0).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) y = x² – 25
- A “Narrativa do Erro”: Uma completa má interpretação das características do gráfico.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro Duplo: Contradição com a Concavidade (a>0) e com o Intercepto Y (c=-25).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) y = -x² + 25
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode confundir a altura máxima com o c da forma canônica y=a(x-xv)²+yv, mas aqui o c não é 25.
- O “Diagnóstico do Erro”: Contradição com o Intercepto Y. O gráfico claramente corta o eixo y em 10, não em 25.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: A resposta correta é a alternativa A, a única que sobreviveu ao interrogatório cruzado de todas as pistas visuais fornecidas pelo gráfico, provando que uma investigação metódica leva à identidade correta.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Boca triste? ‘a’ negativo. Tocou o Y? Achou o ‘c’. Cruzou o X? Teste a raiz, sem errar.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de descrever uma trajetória curva com uma equação parabólica é a base da Balística (Física). Quando um projétil é lançado (uma bola de canhão, uma bola de basquete, um jato d’água), sua trajetória no ar, desconsiderando a resistência, é uma parábola perfeita. Físicos e engenheiros usam equações quadráticas, idênticas às desta questão, para calcular o alcance, a altura máxima e o tempo de voo de qualquer objeto lançado. A equação que modela a arquitetura de um túnel é fundamentalmente a mesma que descreve o arremesso de um atleta.
