Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
A) 156 cm³.
B) 189 cm³.
C) 192 cm³.
D) 216 cm³.
E) 540 cm³.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial
- Volume de Pirâmide
- Semelhança de Sólidos (Relação entre volumes)
Tema/Objetivo Geral:
- Calcular o volume de parafina de uma vela modificada, subtraindo o volume de uma pequena pirâmide do volume total da vela original.
Nível da Questão
- Difícil – A questão é considerada difícil porque, apesar de parecer um simples cálculo de subtração de volumes, ela exige uma interpretação cuidadosa do enunciado para determinar as dimensões (especialmente a altura) tanto da pirâmide maior quanto da pirâmide menor que será retirada. A lógica da semelhança e da distribuição das alturas é o ponto mais complexo.
Gabarito
- B) 189 cm³. – Este é o volume correto da nova vela, obtido ao subtrair o volume da pequena pirâmide do topo (3 cm³) do volume total da vela original (192 cm³).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A parte do enunciado que nos guia é: “Se o dono da fábrica resolver […] retirando a pirâmide da parte superior […], quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para calcularmos o volume de parafina da vela depois que a pirâmide do topo for removida.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é: (Volume total da vela original) – (Volume da pirâmide do topo).
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a vela original não é uma pirâmide maciça? Ela é formada por blocos com espaços vazios entre eles. A informação sobre a altura total da vela (19 cm) e os espaçamentos (1 cm) é crucial para descobrir a altura real de parafina.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Pirâmide Quadrangular Regular: Uma pirâmide cuja base é um quadrado e cujas faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
- Volume da Pirâmide: V = (Área da base × Altura) / 3
- Semelhança de Pirâmides: Se uma pirâmide é cortada por um plano paralelo à base, ela gera uma pirâmide menor no topo que é semelhante à original. As relações são:
- (aresta menor / aresta maior) = (altura menor / altura maior) = k (razão de semelhança)
- Relação de Volume: (Volume menor / Volume maior) = k³
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos pensar em uma vela em formato de pirâmide, mas construída com 4 blocos empilhados. Há pequenos vãos entre os blocos. O fabricante quer criar um novo modelo de vela simplesmente removendo o bloquinho do topo (que é uma pirâmide pequena). Nossa tarefa é calcular o volume de cera que sobra, ou seja, o volume dos três blocos de baixo.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Calcular a altura total de parafina da vela original, descontando os espaços vazios.
- Calcular o volume total de parafina da vela original (como se fosse uma pirâmide maciça com essa altura ajustada).
- Determinar a altura da pirâmide pequena do topo.
- Calcular o volume dessa pirâmide pequena.
- Subtrair o volume da pequena do volume total para encontrar o volume da nova vela.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Cálculo da Altura de Parafina da Vela Original:
- A altura total da estrutura (com espaços) é 19 cm.
- A vela é formada por 4 blocos, o que cria 3 espaços entre eles.
- Cada espaço tem 1 cm. Total de espaços = 3 * 1 cm = 3 cm.
- Altura real de parafina (H) = Altura total – Altura dos espaços
H = 19 cm – 3 cm = 16 cm.
2. Cálculo do Volume Total da Vela Original (V_total):
A vela original, ignorando os espaços e considerando apenas o volume de cera, é uma pirâmide de base quadrada.
- Aresta da base (L) = 6 cm.
- Área da Base (Ab) = L * L = 6 * 6 = 36 cm².
- Altura de parafina (H) = 16 cm.
- V_total = (Ab * H) / 3
V_total = (36 * 16) / 3
V_total = 12 * 16
V_total = 192 cm³.
3. Cálculo das Dimensões da Pirâmide Pequena do Topo (V_topo):
O enunciado nos diz que a vela é formada por 4 blocos de mesma altura.
- Altura da parafina de cada bloco = Altura total de parafina / Nº de blocos
Altura por bloco = 16 cm / 4 = 4 cm. - A pirâmide do topo é o bloco superior, então sua altura (h) é 4 cm.
- A aresta da base da pirâmide do topo (l) é dada como 1,5 cm.
- Área da base da pirâmide do topo (ab) = l * l = 1,5 * 1,5 = 2,25 cm².
4. Cálculo do Volume da Pirâmide do Topo (V_topo):
- V_topo = (ab * h) / 3
V_topo = (2,25 * 4) / 3
V_topo = 9 / 3
V_topo = 3 cm³.
5. Cálculo do Volume da Nova Vela:
- Volume da Nova Vela = V_total – V_topo
Volume da Nova Vela = 192 cm³ – 3 cm³
Volume da Nova Vela = 189 cm³.
4.2 Verificação Intermediária
Os passos são lógicos. A altura de 16 cm para a parafina faz sentido. O volume total de 192 cm³ e o volume da ponta de 3 cm³ são consistentes com as dimensões. A subtração final é direta. O resultado de 189 cm³ é plausível.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria usar a altura total de 19 cm para o cálculo do volume, ignorando os espaços vazios. Isso levaria a V_total = (36 * 19) / 3 = 228 cm³, um resultado incorreto que não corresponde a nenhuma alternativa após a subtração. Outro erro seria não entender como achar a altura da pirâmide pequena (4 cm).
4.4 Fechamento e expectativa
O nosso cálculo nos levou a um volume final de 189 cm³ para a nova vela. Esperamos encontrar este valor exato entre as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) 156 cm³.
- B) 189 cm³.
- C) 192 cm³.
- D) 216 cm³.
- E) 540 cm³.
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A) 156 cm³: Incorreto. Provavelmente resultado de um erro no cálculo da altura ou de algum dos volumes.
- 🟢 (B) 189 cm³: Correto. Corresponde exatamente ao nosso cálculo (192 cm³ – 3 cm³).
- 🔴 (C) 192 cm³: Incorreto. Este é o volume da vela antes da modificação, não depois.
- 🔴 (D) 216 cm³: Incorreto. O valor 216 (6³) pode induzir ao erro, mas não se aplica corretamente ao volume da pirâmide.
- 🔴 (E) 540 cm³: Incorreto. Valor muito distante do resultado correto.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se calcular o volume da vela original (descontando os espaços vazios para encontrar a altura real da parafina) e o volume da pequena pirâmide do topo (cuja altura foi deduzida da divisão igualitária dos blocos). A subtração do segundo pelo primeiro nos deu o volume de parafina da nova vela.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B, que corresponde a 189 cm³.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de geometria espacial com sólidos compostos ou com “buracos”, a estratégia mais comum é o cálculo por diferença: calcule o volume da figura maior (como se fosse maciça) e subtraia os volumes das partes que foram removidas ou que são vazias.
