Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a
(considere √3/3 = 0,58)
A) 50%.
B) 43%
C) 37%
D) 33%
E) 19%
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Área de Triângulos e Retângulos)
- Trigonometria no Triângulo Retângulo (Tangente)
- Cálculo de Porcentagem
Tema/Objetivo Geral:
- Calcular a área de uma das partes de um terreno dividido e expressar essa área como uma porcentagem da área total.
Nível da Questão
- Difícil – A questão é considerada difícil porque combina múltiplas áreas da matemática. O aluno precisa interpretar a divisão do terreno, reconhecer a necessidade de usar trigonometria para encontrar uma medida desconhecida, calcular a área do triângulo, calcular a área total do terreno e, finalmente, converter a razão entre essas áreas em porcentagem. A abstração necessária para montar a estratégia é o principal desafio.
Gabarito
- E) 19% – Este valor é a aproximação correta da porcentagem que a área do terreno de João (aproximadamente 1,16 km²) representa em relação à área total do terreno (6 km²).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A pergunta central do problema é: “constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a…”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para calcular a área do pedaço de terra que ficou com João e depois dizer que porcentagem esse valor representa da área total do terreno.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar a razão (Área de João / Área Total) e transformar essa razão em uma porcentagem.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a divisão da área de extração de ouro é a chave para resolver o problema? A informação de que “cada um ficasse com a terça parte da área de extração” nos diz que os ângulos da divisão no canto do terreno são iguais.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Área de Retângulo: A = base × altura.
- Área de um Quarto de Círculo: A área de um círculo é A = πr². Um quarto de círculo tem A = (πr²)/4.
- Área de Triângulo Retângulo: A = (cateto1 × cateto2) / 2.
- Trigonometria no Triângulo Retângulo: Relações entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo. Usaremos a tangente.
- Tangente (tg): tg(ângulo) = (cateto oposto) / (cateto adjacente).
- Valor Notável: Precisamos saber (ou a questão fornece) o valor da tangente de 30°, que é tg(30°) = √3 / 3.
- Porcentagem: É uma forma de expressar uma proporção em relação a 100.
- Fórmula: Porcentagem = (Parte / Todo) × 100.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Três irmãos herdam um terreno retangular. No cantinho esquerdo inferior, há uma área especial de extração de ouro em formato de um quarto de pizza (um quarto de círculo). Eles decidem dividir essa área de ouro em três fatias iguais. Essa divisão acaba por definir as fronteiras de todo o terreno para cada irmão. Nossa tarefa é focar na parte de João, que fica no canto superior esquerdo, calcular seu tamanho e ver que fatia da “pizza” total (o terreno inteiro) ele representa.
3.2 Estratégia Geral
- Calcular a área total do terreno retangular.
- Identificar que o terreno de João é um triângulo retângulo.
- Usar a informação da divisão da área de ouro para determinar o ângulo do triângulo de João.
- Aplicar a tangente desse ângulo para encontrar a medida do lado que falta no triângulo de João.
- Calcular a área do triângulo de João.
- Calcular a porcentagem que a área de João representa da área total.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Cálculo da Área Total do Terreno:
O terreno é um retângulo de 3 km por 2 km.
Área Total = 3 km × 2 km = 6 km²
2. Análise do Terreno de João:
O terreno de João é um triângulo retângulo no canto superior esquerdo.
- Um dos seus lados (o cateto vertical) é a altura do terreno, que mede 2 km. Este será nosso cateto adjacente ao ângulo que vamos descobrir.
- O outro lado (o cateto horizontal, na parte de cima) tem uma medida que não conhecemos. Vamos chamá-lo de x. Este é o cateto oposto.
3. Determinando o Ângulo:
A área de extração é um quarto de círculo, que ocupa um ângulo de 90°. Ela foi dividida em três partes iguais para os três irmãos.
Ângulo de cada parte = 90° / 3 = 30°
Portanto, o ângulo do triângulo de João, no vértice inferior esquerdo do seu terreno, é de 30°.
4. Usando a Tangente para encontrar ‘x’:
Agora usamos a trigonometria no triângulo de João.
tg(30°) = (cateto oposto) / (cateto adjacente)
tg(30°) = x / 2
Sabemos que tg(30°) = √3 / 3. Então:
√3 / 3 = x / 2
Multiplicando em cruz:
3x = 2√3
x = (2√3) / 3 km
5. Cálculo da Área de João:
Agora que temos os dois catetos (2 km e (2√3)/3 km), podemos calcular a área do triângulo.
Área de João = (base × altura) / 2 = (x × 2) / 2
Área de João = x
Área de João = (2√3) / 3 km²
6. Cálculo da Porcentagem:
Primeiro, vamos usar a aproximação dada no enunciado: √3 / 3 = 0,58.
Área de João = 2 * (√3 / 3) = 2 * 0,58 = 1,16 km²
Agora, calculamos a porcentagem em relação à área total (6 km²).
Porcentagem = (Área de João / Área Total) * 100
Porcentagem = (1,16 / 6) * 100
Porcentagem ≈ 0,1933… * 100
Porcentagem ≈ 19,33%
Este valor é aproximadamente 19%.
4.2 Verificação Intermediária
A área de João (1,16 km²) é um valor plausível, sendo uma fração da área total de 6 km². A porcentagem encontrada (19,33%) está bem próxima de uma das alternativas.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é a visual. Olhando a figura, a área de João pode parecer maior do que realmente é. Confiar na intuição visual em vez dos cálculos trigonométricos seria um erro. Outra armadilha seria confundir cateto oposto com adjacente, o que levaria ao uso de uma função trigonométrica errada.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a uma porcentagem de aproximadamente 19%. Vamos procurar este valor nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) 50%.
- B) 43%.
- C) 37%.
- D) 33%.
- E) 19%.
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A), (B), (C), (D): Incorretas. Esses valores são muito distantes do nosso cálculo. A alternativa D (33%) poderia enganar alguém que pensasse que a área do terreno também foi dividida em três partes iguais, o que não é verdade.
- 🟢 (E) 19%: Correto. Corresponde à aproximação do valor que encontramos (19,33%).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada determinando-se primeiro a área total do terreno. Em seguida, a partir da divisão da área de extração de ouro, deduziu-se o ângulo do triângulo correspondente ao terreno de João. Com o uso da função tangente, foi possível calcular a área desse triângulo e, finalmente, expressá-la como uma porcentagem do total.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E, que corresponde a aproximadamente 19%.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de geometria que misturam formas (retângulos, círculos, triângulos), procure por informações que conectem as partes. Neste caso, a divisão do ângulo de 90° foi a chave que permitiu usar a trigonometria para resolver o problema.
