Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe
A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.
E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Estatística Básica
- Cálculo de Mediana
- Análise de Dados e Cenários
Tema/Objetivo Geral:
- Calcular a mediana de um conjunto de dados e analisar como a alteração de um dos valores impacta o resultado final em um contexto de competição.
Nível da Questão
- Médio – A questão é de nível médio porque, além de exigir o cálculo correto da mediana para um conjunto com número par de elementos, ela demanda uma análise hipotética. O aluno precisa não apenas calcular, mas também interpretar como a mediana se comporta ao se introduzir um novo valor no conjunto, testando os cenários propostos nas alternativas.
Gabarito
- D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. – A alternativa está correta porque, mesmo que o aluno que faltou tirasse a nota máxima (10), a nova mediana da equipe Gama não seria suficiente para superar a pontuação da equipe que ficou em segundo lugar.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A parte do enunciado que guia nossa análise é: “Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe…”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para analisarmos diferentes cenários hipotéticos. Devemos verificar o que aconteceria com a colocação da equipe Gama se a nota 0 do aluno faltante fosse substituída por outras notas possíveis.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular qual seria a mediana (pontuação final) da equipe Gama em cada cenário proposto e comparar esse novo valor com as pontuações das equipes Ômega (7,8) e Delta (7,6) para determinar a classificação final.
1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembra de como calcular a mediana para um conjunto com um número par de dados, como os 10 alunos de uma equipe? Lembre-se, não é apenas o valor central, mas a média dos dois valores centrais!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Mediana: É uma medida de tendência central que representa o valor do meio de um conjunto de dados quando estes estão organizados em ordem crescente ou decrescente. Ela divide o conjunto em duas metades iguais.
- Como Calcular a Mediana:
- Ordenar os dados: O primeiro passo é sempre colocar todos os valores em ordem, do menor para o maior.
- Identificar os valores centrais:
- Se o número de dados (n) for ímpar, a mediana é o único valor que fica exatamente no meio.
- Se o número de dados (n) for par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais. Para 10 dados, os valores centrais são o 5º e o 6º da lista ordenada.
- Fórmula para n par: Mediana = (Valor na posição n/2 + Valor na posição n/2 + 1) / 2
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos simplificar a situação: a equipe Gama ficou em último lugar porque um de seus membros faltou e zerou. A gente precisa investigar se eles teriam alguma chance de subir no pódio se esse aluno tivesse comparecido e tirado uma nota diferente de zero. Vamos analisar as “jogadas” possíveis (as notas que ele poderia tirar) e ver se alguma delas mudaria o resultado do jogo.
3.2 Estratégia Geral
- Primeiro, vamos calcular a pontuação atual da equipe Gama (com a nota 0) para confirmar sua posição.
- Depois, vamos analisar o “melhor cenário possível”: o que aconteceria se o aluno que faltou tirasse a nota máxima (10)?
- Com base nesse resultado, poderemos avaliar todas as outras alternativas de forma mais rápida e lógica.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Calculando a pontuação ATUAL da equipe Gama:
- As notas são: 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
-
Passo 1: Ordenar as notas.
0 ; 6 ; 6,5 ; 6,5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 10 ; 10
-
Passo 2: Encontrar a mediana.
Temos 10 notas (um número par). Os valores centrais são o 5º e o 6º.
5ª nota = 7
6ª nota = 7
Mediana = (7 + 7) / 2 = 14 / 2 = 7,0 pontos. - Conclusão inicial: Com 7,0 pontos, a equipe Gama ficou de fato em terceiro, atrás de Delta (7,6) e Ômega (7,8).
2. Analisando o MELHOR cenário possível para a equipe Gama:
Vamos supor que o aluno que faltou tivesse comparecido e gabaritado a prova, tirando nota 10.
- As notas da equipe seriam as 9 notas originais mais a nova nota 10 (substituindo o 0).
- As novas notas são: 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 10.
-
Passo 1: Ordenar as novas notas.
6 ; 6,5 ; 6,5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 10 ; 10 ; 10
-
Passo 2: Encontrar a nova mediana.
Os valores centrais continuam sendo o 5º e o 6º.
5ª nota = 7
6ª nota = 8
Nova Mediana = (7 + 8) / 2 = 15 / 2 = 7,5 pontos.
4.2 Verificação Intermediária
Descobrimos algo muito importante: mesmo no melhor cenário de todos, com o aluno tirando nota 10, a pontuação máxima que a equipe Gama conseguiria alcançar é 7,5.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria esquecer de ordenar os dados a cada novo cenário. Outro erro seria, em um conjunto de 10 dados, pegar apenas o 5º valor como mediana, esquecendo que é preciso fazer a média com o 6º valor.
4.4 Fechamento e expectativa
Como a pontuação máxima possível para a Gama (7,5) ainda é menor que a pontuação da segunda colocada, a equipe Delta (7,6), concluímos que a equipe Gama não conseguiria sair do terceiro lugar, não importa a nota que o aluno obtivesse. Nossa expectativa é encontrar uma alternativa que afirme exatamente isso.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) Teria pontuação 6,5 se obtivesse nota 0.
- B) Seria a vencedora se obtivesse nota 10.
- C) Seria a segunda colocada se obtivesse nota 8.
- D) Permaneceria na terceira posição, independentemente da nota.
- E) Empataria com a Ômega se obtivesse nota 9.
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A): Incorreto. Como calculamos, com a nota 0 a mediana é 7,0, e não 6,5.
- 🔴 (B): Incorreto. Com nota 10, a mediana seria 7,5, o que não é suficiente para vencer a equipe Ômega (7,8) nem a Delta (7,6).
- 🔴 (C): Incorreto. Se o aluno obtivesse nota 8, a mediana também seria (7+8)/2 = 7,5. Este valor não supera os 7,6 da equipe Delta.
- 🟢 (D): Correto. Como demonstramos no Passo 4, a nota máxima que a equipe Gama poderia atingir é 7,5. Como este valor é inferior à pontuação do segundo lugar (7,6), a equipe permaneceria na terceira posição, não importa qual nota (de 0 a 10) o aluno obtivesse.
- 🔴 (E): Incorreto. A pontuação máxima possível é 7,5, o que não permite empatar com a equipe Ômega (7,8).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se calcular a pontuação máxima possível para a equipe Gama. Substituindo a nota zero pela nota máxima (10) e recalculando a mediana, descobrimos que a nova pontuação seria 7,5. Como este valor ainda é inferior à pontuação do segundo colocado, conclui-se que nenhuma nota seria capaz de mudar a classificação da equipe.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D, pois a equipe Gama permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A mediana é uma medida “robusta”, ou seja, pouco afetada por valores extremos. Trocar um zero pela nota máxima (10) não alterou drasticamente o centro do conjunto de dados, e a pontuação da equipe não subiu o suficiente para mudar sua colocação.
