A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?
A) 2,9 cm × 3,4 cm.
B) 3,9 cm × 4,4 cm.
C) 20 cm × 25 cm.
D) 21 cm × 26 cm.
E) 192 cm × 242 cm.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Escala Numérica
- Conversão de Unidades de Medida (Metros para Centímetros)
- Geometria Plana (Cálculo de Dimensões)
Tema/Objetivo Geral:
- Aplicação de escala para determinar as dimensões de um desenho técnico e do papel necessário para sua confecção, incluindo margens.
Nível da Questão
- Médio – A questão é de nível médio porque envolve uma sequência de três etapas distintas (conversão, aplicação de escala e adição de margens). Embora cada etapa seja simples individualmente, a combinação delas exige organização e atenção aos detalhes, especialmente na interpretação correta de como as margens afetam as dimensões finais.
Gabarito
- D) 21 cm × 26 cm. – Estas são as dimensões corretas do papel, pois acomodam o desenho do avião em escala (19 cm x 24 cm) e a margem obrigatória de 1 cm em todos os quatro lados.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A pergunta chave do enunciado é: “…quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para calcularmos o comprimento e a largura mínimos, em centímetros, da folha de papel que será usada para o desenho.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é determinar as dimensões finais da folha, levando em conta o tamanho do desenho do avião após a aplicação da escala e o espaço extra exigido pelas margens.
1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembrou que a margem de 1 cm é em relação às bordas da folha? Isso significa que ela precisa ser adicionada em cima, embaixo, à esquerda e à direita, impactando o comprimento e a largura totais.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Escala: É uma relação matemática entre as dimensões de um desenho e as dimensões reais do objeto que ele representa.
- Escala 1:150 significa que 1 centímetro no desenho equivale a 150 centímetros na realidade. Para transformar uma medida real em uma medida no desenho, dividimos a medida real pelo fator de escala (neste caso, 150).
- Conversão de Unidades: É o processo de transformar uma medida de uma unidade para outra. A relação que usaremos é:
- 1 metro (m) = 100 centímetros (cm).
- Margem: É uma área em branco deixada entre a borda da folha e o início do conteúdo (o desenho). Uma margem de 1 cm em toda a volta significa que haverá uma faixa vazia de 1 cm de largura no topo, na base, à esquerda e à direita do desenho.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “mastigar” o problema: um engenheiro quer desenhar um avião gigante em uma folha de papel. Obviamente, ele precisa “encolher” o avião para caber na folha, usando uma “taxa de encolhimento” de 1 para 150. Depois de descobrir o tamanho que o desenho terá, ele ainda precisa deixar um “espaço de respiro” (a margem) de 1 cm em toda a volta. Nossa missão é descobrir o tamanho mínimo do papel para que tudo isso caiba perfeitamente.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será executado em três etapas claras:
- Primeiro, converter as medidas reais do avião de metros para centímetros.
- Segundo, aplicar a escala para encontrar as dimensões do desenho em centímetros.
- Terceiro, adicionar o espaço das margens às dimensões do desenho para encontrar o tamanho final do papel.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Converter as medidas reais para centímetros.
As medidas reais do avião são 36 metros de comprimento e 28,5 metros de envergadura (largura).
- Comprimento em cm:
36 m * 100 cm/m = 3600 cm - Largura em cm:
28,5 m * 100 cm/m = 2850 cm
Etapa 2: Aplicar a escala de 1:150 para achar as dimensões do desenho.
Para isso, dividimos as medidas em cm por 150.
- Comprimento do desenho:
3600 cm / 150 = 24 cm - Largura do desenho:
2850 cm / 150 = 19 cm
Até aqui, sabemos que o desenho do avião ocupará um retângulo de 24 cm por 19 cm.
Etapa 3: Adicionar as margens para achar as dimensões da folha.
O enunciado pede uma margem de 1 cm em relação a todas as bordas.
- Comprimento da folha:
Precisamos de 1 cm de margem superior e 1 cm de margem inferior.
Comprimento da folha = Comprimento do desenho + 1 cm (em cima) + 1 cm (embaixo)
Comprimento da folha = 24 cm + 2 cm = 26 cm - Largura da folha:
Precisamos de 1 cm de margem esquerda e 1 cm de margem direita.
Largura da folha = Largura do desenho + 1 cm (esquerda) + 1 cm (direita)
Largura da folha = 19 cm + 2 cm = 21 cm
As dimensões mínimas da folha de papel são, portanto, 21 cm × 26 cm.
4.2 Verificação Intermediária
As dimensões do desenho são 19 cm x 24 cm. Como o papel precisa ter margens, suas dimensões devem ser maiores que as do desenho. Nossos resultados, 21 cm e 26 cm, são coerentes com essa expectativa.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum neste tipo de questão é adicionar apenas 1 cm a cada dimensão, esquecendo que a margem existe nos dois extremos (topo E base, esquerda E direita). Se um aluno fizesse isso, chegaria ao resultado incorreto de 20 cm x 25 cm, que corresponde à alternativa C, uma isca perfeita.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo detalhado nos levou às dimensões de 21 cm por 26 cm para a folha de papel. Agora, vamos verificar se essa opção está disponível nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) 2,9 cm × 3,4 cm.
- B) 3,9 cm × 4,4 cm.
- C) 20 cm × 25 cm.
- D) 21 cm × 26 cm.
- E) 192 cm × 242 cm.
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A) e (B): Incorretas. Esses valores são muito pequenos e provavelmente resultam de um erro grave na conversão de unidades ou na aplicação da escala.
- 🔴 (C) 20 cm × 25 cm: Incorreta. Este é o resultado da principal armadilha: adicionar apenas 1 cm a cada dimensão do desenho (19+1 e 24+1), em vez dos 2 cm necessários para cobrir as margens de ambos os lados.
- 🟢 (D) 21 cm × 26 cm: Correto. Corresponde exatamente ao nosso cálculo: (19 cm + 2 cm de margem) × (24 cm + 2 cm de margem).
- 🔴 (E) 192 cm × 242 cm: Incorreta. Estes valores são muito grandes e não têm relação com a aplicação correta da escala de redução.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi obtida por um processo de três passos: primeiro, a conversão das medidas reais para uma unidade comum (centímetros); segundo, a aplicação da escala para determinar as dimensões do desenho; e terceiro, a adição de 2 cm a cada dimensão do desenho para incluir as margens superior/inferior e esquerda/direita.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D, que apresenta as dimensões 21 cm × 26 cm.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se: em problemas de escala com margens, a margem funciona como uma “moldura”. Você precisa somar o valor dela duas vezes para cada dimensão (uma vez para cada lado/extremidade) para encontrar o tamanho total do papel.
