Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm³, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a
A) 4.
B) 8.
C) 16.
D) 24.
E) 32.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial
- Volume de Cubos e Esferas
- Raciocínio Lógico Espacial
Tema/Objetivo Geral:
- Calcular o número máximo de objetos esféricos que podem ser acondicionados em um recipiente cúbico, com base em suas dimensões lineares.
Nível da Questão
- Médio – A questão é de nível médio porque, embora os cálculos sejam simples, ela exige uma visualização espacial correta. O aluno precisa entender que o problema não se resolve dividindo o volume da caixa pelo volume da esfera, mas sim analisando quantas esferas se encaixam nas dimensões (comprimento, largura e altura) da caixa.
Gabarito
- B) 8. – A alternativa está correta pois a aresta do cubo mede 24 cm e o diâmetro de cada esfera mede 12 cm. Assim, é possível empilhar as esferas em um arranjo de 2x2x2, totalizando 8 esferas.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A pergunta central do problema é: “o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a…”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para determinarmos quantas esferas de 6 cm de raio cabem dentro de uma caixa cúbica com capacidade de 13.824 cm³.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é descobrir as dimensões da caixa e o espaço que cada esfera ocupa para calcular o número total de esferas que podem ser perfeitamente empilhadas.
1.4 Pergunta de Atenção
Você pensou em resolver o problema apenas dividindo o volume da caixa pelo volume de uma esfera? Cuidado! Essa é a maior armadilha em problemas de empacotamento. O espaço vazio que fica entre as esferas não pode ser ignorado.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Cubo: Um sólido geométrico com seis faces quadradas, todas do mesmo tamanho. Todas as suas arestas (lados) têm a mesma medida.
- Volume do Cubo: V = aresta * aresta * aresta = aresta³.
- Esfera: Um sólido geométrico perfeitamente redondo, como uma bola de gude.
- Raio (r): A distância do centro da esfera até qualquer ponto em sua superfície.
- Diâmetro (d): A distância máxima de um ponto a outro da esfera, passando pelo centro. É o dobro do raio (d = 2r). O diâmetro representa o “espaço linear” que uma esfera ocupa.
- Empacotamento: É o estudo de como arrumar objetos sólidos em um recipiente. Para objetos rígidos como esferas em caixas cúbicas, o arranjo mais simples e eficiente é alinhá-los em filas e colunas.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos simplificar: temos várias bolinhas de aço idênticas e uma caixa de madeira em formato de cubo. Sabemos o tamanho da bolinha (6 cm de raio) e o volume total da caixa (13.824 cm³). Queremos descobrir quantas bolinhas conseguimos guardar na caixa, arrumando-as da forma mais organizada possível, como se estivéssemos montando um cubo maior com elas.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será o seguinte:
- A partir do volume da caixa, calcular o comprimento de sua aresta (lado).
- A partir do raio da esfera, calcular seu diâmetro, que é o espaço que ela ocupa em cada direção (comprimento, largura e altura).
- Dividir a aresta da caixa pelo diâmetro da esfera para ver quantas cabem em fila.
- Calcular o total de esferas multiplicando o número que cabe em cada uma das três dimensões.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Descobrindo o tamanho da caixa:
O volume (V) da caixa cúbica é de 13.824 cm³. A fórmula do volume é V = aresta³. Para achar a aresta, precisamos calcular a raiz cúbica do volume.
aresta = ³√13.824
Podemos fazer isso por tentativa ou fatoração, mas o resultado é:
aresta = 24 cm
Então, a nossa caixa é um cubo com 24 cm de comprimento, 24 cm de largura e 24 cm de altura.
2. Descobrindo o espaço ocupado por cada esfera:
O raio (r) da esfera é de 6 cm. O espaço que ela ocupa em uma fila é o seu diâmetro (d).
d = 2 * r
d = 2 * 6 cm = 12 cm
Cada esfera precisa de um “cubinho imaginário” de 12 cm de lado para ser acomodada.
3. Calculando quantas esferas cabem em cada dimensão:
Agora, vamos ver quantas esferas cabem enfileiradas ao longo de uma aresta da caixa.
Nº de esferas por dimensão = (aresta da caixa) / (diâmetro da esfera)
Nº de esferas por dimensão = 24 cm / 12 cm = 2
Isso significa que cabem 2 esferas na direção do comprimento, 2 na largura e 2 na altura.
4. Calculando o número total de esferas:
O total de esferas será o produto do número de esferas em cada dimensão.
Total de esferas = 2 (comprimento) * 2 (largura) * 2 (altura)
Total de esferas = 2³ = 8
4.2 Verificação Intermediária
Até aqui, descobrimos que a caixa tem 24 cm de lado e cada esfera ocupa um espaço de 12 cm. Faz sentido que caibam 2 esferas por lado (2 * 12 = 24). O cálculo 2x2x2 = 8 parece lógico e correto.
4.3 Possível armadilha
A armadilha clássica, como já mencionado, seria calcular o volume de uma esfera (V = 4/3 * π * r³) e dividir o volume da caixa por este valor. Isso daria um número maior, mas incorreto, pois não considera os espaços vazios que inevitavelmente ficam entre as esferas ao serem empilhadas. A geometria do empacotamento depende das dimensões lineares, não da capacidade volumétrica.
4.4 Fechamento e expectativa
O nosso raciocínio nos levou ao resultado de que 8 esferas podem ser transportadas na caixa. Esperamos encontrar o número 8 como uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) 4
- B) 8
- C) 16
- D) 24
- E) 32
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A) 4: Incorreto. Este seria o resultado se considerássemos apenas um “andar” de esferas (2×2), esquecendo a terceira dimensão (altura).
- 🟢 (B) 8: Correto. Corresponde ao nosso cálculo de 2 esferas por dimensão em uma caixa cúbica (2 x 2 x 2).
- 🔴 (C) 16: Incorreto. Não corresponde a uma disposição cúbica lógica com os dados fornecidos.
- 🔴 (D) 24: Incorreto. Este valor corresponde à medida da aresta do cubo (24 cm), não ao número de esferas.
- 🔴 (E) 32: Incorreto. Não se encaixa na lógica do problema.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada determinando as dimensões lineares da caixa a partir de seu volume e o espaço linear ocupado por cada esfera (seu diâmetro). A divisão dessas dimensões nos permitiu calcular quantas esferas se encaixam em cada eixo (x, y, z) e, consequentemente, o total que a caixa comporta.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B, que corresponde a um total de 8 esferas.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de empacotamento de sólidos regulares (esferas, cubos, etc.) em caixas, a regra de ouro é: compare as dimensões lineares (comprimento, largura, altura), não os volumes.
