Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.
Imagine um plano paralelo à face α do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com a escultura contém
A) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.
B) dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos.
C) dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
D) dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos.
E) dois quadriláteros congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial
- Seções Planas (Cortes em Sólidos)
- Posições Relativas entre Retas, Planos e Sólidos
- Interpretação de Enunciados Geométricos
Tema/Objetivo Geral:
- Analisar a forma geométrica resultante da interseção (corte) de um plano com uma escultura composta por prismas, com base em suas propriedades de paralelismo e perpendicularidade.
Nível da Questão
- Difícil – A questão é considerada difícil porque exige um alto nível de abstração e raciocínio espacial. O aluno não pode se basear apenas na imagem 2D, que pode ser enganosa, mas deve construir a solução a partir das relações geométricas (perpendicularidade e paralelismo) descritas no texto, o que é um desafio complexo.
Gabarito
- A) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos. – Esta alternativa está correta porque o plano de corte, sendo perpendicular às arestas laterais dos prismas II e IV, gera seções transversais que são idênticas às suas bases triangulares, e como os prismas são paralelos, os lados das figuras resultantes também serão.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A parte crucial do enunciado é: “Imagine um plano paralelo à face α do prisma I, mas que passe pelo ponto P […] A interseção desse plano imaginário com a escultura contém…”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para a gente descrever a forma geométrica, a quantidade de figuras e suas propriedades (se são iguais, se seus lados são paralelos, etc.) que aparecem quando “fatiamos” a escultura com um plano imaginário.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é determinar quais sólidos são cortados pelo plano e qual é a forma exata desses cortes, para então encontrar a alternativa que descreve corretamente o resultado.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a chave do problema não está na imagem, mas na descrição textual? As palavras “paralelo” e “perpendicular” são as pistas mais importantes e seguras para resolver a questão, mais do que tentar adivinhar o corte pela figura.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Prisma Reto de Base Triangular: Pense em uma barra com formato de Toblerone. É um sólido que possui duas bases que são triângulos iguais e paralelos. Suas faces laterais são retângulos.
- Plano: Uma superfície perfeitamente plana que se estende infinitamente em todas as direções. No problema, ele funciona como uma “lâmina de corte”.
- Seção Plana (ou Corte): É a figura 2D que se forma na superfície onde o plano corta o sólido. Se você corta uma laranja ao meio, a seção plana é um círculo.
- Perpendicularidade: Duas retas ou planos são perpendiculares quando formam um ângulo de 90° entre si. O enunciado diz que o prisma I é perpendicular ao prisma II, o que significa que a “direção” de um é perpendicular à do outro.
- Paralelismo: Dois planos ou retas são paralelos quando nunca se cruzam, mantendo sempre a mesma distância entre si.
- Congruência: Duas figuras são congruentes quando são exatamente do mesmo tamanho e formato. Uma pode ser sobreposta perfeitamente na outra.
- Teorema Fundamental do Corte em Prismas: Se um plano corta um prisma de forma paralela às suas bases, a seção plana resultante é uma figura congruente (idêntica) à base.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos simplificar a história: temos uma escultura feita de quatro “barras de Toblerone” (os prismas). A gente vai passar uma “lâmina” imaginária nela. A posição dessa lâmina é muito específica: ela tem que estar na mesma inclinação da “tampa” triangular do prisma I e tem que passar por um ponto P no prisma II. A pergunta é: quando a lâmina atravessa a escultura, que formas de “fatias” ela cria?
3.2 Estratégia Geral
- Primeiro, vamos entender a orientação exata da nossa “lâmina” (o plano) com base na face α.
- Depois, usaremos a informação de que os prismas são perpendiculares para descobrir como essa lâmina corta os prismas II e IV.
- Por fim, vamos deduzir o formato, a congruência e o paralelismo das figuras formadas para escolher a alternativa correta.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Este problema é de raciocínio espacial, não de cálculo numérico. Vamos seguir a lógica:
- Passo A: Entendendo a orientação do plano de corte.
O plano é paralelo à face α, que é a base triangular do prisma I. Isso define a “inclinação” do nosso corte.
- Passo B: Como o plano corta o prisma II?
O enunciado nos diz que o prisma I é perpendicular ao prisma II. Isso é a informação mais importante! Se a direção de um prisma é perpendicular à de outro, significa que a base de um (a face α do prisma I) é perpendicular às faces laterais (ao “comprimento”) do outro (prisma II).Como nosso plano de corte é paralelo à face α, ele também será perpendicular às faces laterais e às arestas do prisma II.
Pense em cortar um salame: para obter fatias redondas perfeitas, você corta perpendicularmente ao seu comprimento. A mesma lógica se aplica aqui. Um corte perpendicular ao “comprimento” de um prisma resulta em uma seção com o mesmo formato da sua base.
Como o prisma II tem base triangular, o corte no prisma II formará um triângulo.
- Passo C: E o prisma IV?
O enunciado também diz que o prisma I é perpendicular ao prisma IV. Aplicamos exatamente o mesmo raciocínio do Passo B. O plano de corte será perpendicular ao “comprimento” do prisma IV e, portanto, o corte no prisma IV também formará um triângulo.
- Passo D: Os triângulos são iguais?
Sim! O enunciado afirma que a base do prisma II é “um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas”. Isso significa que todos os prismas têm bases triangulares idênticas. Como os cortes geram figuras idênticas às bases, os dois triângulos resultantes da seção são congruentes entre si.
- Passo E: Os lados dos triângulos são paralelos?
Sim! Na escultura, os prismas II e IV são ambos perpendiculares ao prisma I, o que nos leva a concluir que eles são paralelos um ao outro. Quando um único plano corta dois sólidos paralelos, as linhas de interseção (os lados das figuras cortadas) com as faces correspondentes também serão paralelas. Portanto, os lados correspondentes dos dois triângulos são paralelos.
4.2 Verificação Intermediária
Nossa dedução lógica nos levou a uma conclusão clara: a interseção do plano com a escultura contém dois triângulos, que são congruentes, e cujos lados correspondentes são paralelos.
4.3 Possível armadilha
A maior armadilha é tentar resolver o problema apenas olhando para a perspectiva da imagem. A projeção 2D pode distorcer os ângulos e as relações espaciais. A solução segura vem da interpretação rigorosa do texto: “paralelo” e “perpendicular”. Outro erro comum é não entender a consequência da perpendicularidade entre os prismas, que é o que define a natureza do corte.
4.4 Fechamento e expectativa
Concluímos que a seção é composta por dois triângulos congruentes com lados paralelos. Agora, vamos procurar a alternativa que diz exatamente isso.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.
- B) dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos.
- C) dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
- D) dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos.
- E) dois quadriláteros congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
5.2 Justificativa Individual
- 🟢 (A) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos: Correto. Esta alternativa descreve perfeitamente o resultado do nosso raciocínio no Passo 4.
- 🔴 (B) dois retângulos…: Incorreto. A forma do corte é um triângulo, pois o plano de corte é paralelo às bases triangulares dos prismas que ele intercepta (ou, de forma equivalente, perpendicular às suas arestas laterais).
- 🔴 (C) dois trapézios…: Incorreto. A forma é um triângulo, não um trapézio. Além disso, os lados correspondentes são paralelos, não perpendiculares.
- 🔴 (D) dois paralelogramos…: Incorreto. A forma da seção é um triângulo, pois a base dos prismas é triangular.
- 🔴 (E) dois quadriláteros…: Incorreto. Um triângulo é um polígono de três lados, não um quadrilátero (quatro lados). E os lados são paralelos, não perpendiculares.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi obtida ao se traduzir as propriedades de perpendicularidade e paralelismo descritas no enunciado. Concluímos que o plano de corte é perpendicular às arestas dos prismas II e IV, o que, por definição, cria seções transversais idênticas às suas bases triangulares e congruentes.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A, que corresponde a dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em questões de geometria espacial com imagens complexas, sempre priorize as informações do texto. As relações de perpendicularidade e paralelismo são mais confiáveis do que a sua percepção visual de uma figura em 2D.
