Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividida entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
A) R$ 14,00.
B) R$ 17,00.
C) R$ 22,00.
D) R$ 32,00.
E) R$ 57,00.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática Financeira e Aritmética.
Tema/Objetivo Geral
Divisão proporcional e equação de primeiro grau aplicada a rateio de despesas.
Nível da Questão
Médio.
Envolve interpretação de um problema financeiro com duas etapas de divisão de valores e a montagem de uma equação — exige atenção, mas o cálculo em si é simples.
Gabarito
Alternativa D) R$ 32,00.
Essa é a quantia final que cada uma das 55 pessoas deveria pagar igualmente para cobrir o custo total da festa.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?”
1.2 O que está sendo pedido?
Encontrar o valor da nova cota individual (quanto cada pessoa pagará após o acerto final).
1.3 Objetivo Cristalino
Determinar quanto cada uma das 55 pessoas deve contribuir para cobrir totalmente as despesas da festa.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembra como transformar uma situação de “faltou dinheiro e entraram novas pessoas” em uma equação de primeiro grau?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / Explicação de Termos
- Cota individual: valor que cada pessoa deve pagar igualmente em um rateio.
- Equação de primeiro grau: uma igualdade que envolve uma incógnita (geralmente representada por x).
- Despesas totais: somatório de todas as contribuições necessárias para pagar a festa.
Conceito-chave:
Se o total da despesa é dividido igualmente entre as pessoas, podemos escrever:
Total = número de pessoas * valor da cota individual.
Neste problema, o total da despesa será o mesmo antes e depois do acerto, apenas dividido de maneira diferente.
Exemplo simples:
Se 4 amigos dividem uma pizza de R$ 80 igualmente, cada um paga 80 / 4 = R$ 20.
Se entra mais 1 amigo, e o preço é o mesmo, cada um passaria a pagar 80 / 5 = R$ 16.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
50 pessoas organizaram uma festa e dividiram o valor igualmente. No fim, o dinheiro não foi suficiente: faltavam R$ 510,00.
Entraram mais 5 pessoas (agora são 55), e ficou decidido que o valor total da festa seria dividido igualmente entre todos.
As 5 pessoas novas pagariam sua parte integral, e as 50 pessoas iniciais teriam que acrescentar R$ 7,00 cada.
3.2 Estratégia Geral
Vamos representar o valor da nova cota (após o acerto) por x.
Como 50 pessoas pagaram R$ 7,00 a mais, temos:
valor arrecadado no acerto = 50 * 7 + 5 * x = 510
Depois, resolvemos essa equação para descobrir x.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Sabemos que:
Valor que ainda faltava = R$ 510,00
Cada uma das 50 pessoas iniciais pagou R$ 7,00 a mais, então:
Valor pago pelas 50 pessoas = 50 * 7 = 350 reais.
As 5 pessoas novas entraram e pagaram o valor completo da nova cota (x), então:
Valor pago pelas 5 novas pessoas = 5 * x.
Somando as duas partes, temos o total que faltava:
350 + 5x = 510
Agora resolvemos a equação:
5x = 510 – 350
5x = 160
x = 160 / 5
x = 32 reais.
Portanto, a nova cota (valor final por pessoa) é R$ 32,00.
4.2 Verificação Intermediária
Vamos conferir:
As 5 novas pessoas pagam 5 * 32 = 160 reais.
As 50 antigas completam com 350 reais.
Somando: 160 + 350 = 510 reais. ✅ Confere exatamente o valor que faltava!
4.3 Possível armadilha
Você pode ter tentado dividir os 510 por 55 pessoas diretamente — mas isso seria errado, pois as 50 antigas já haviam contribuído antes. O acerto não é uma nova divisão total, e sim uma complementação de valores.
4.4 Fechamento e Expectativa
Encontramos o valor de x = 32 reais, que deve aparecer entre as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) R$ 14,00
B) R$ 17,00
C) R$ 22,00
D) R$ 32,00
E) R$ 57,00
5.2 Justificativa Individual
- A) R$ 14,00 – 🔴 Muito baixo; se fosse 14, os 5 novos pagariam 70 reais, insuficiente para cobrir os 510.
- B) R$ 17,00 – 🔴 Ainda insuficiente, pois 5 * 17 = 85, e as 50 antigas pagariam 350, totalizando 435 (não cobre 510).
- C) R$ 22,00 – 🔴 5 * 22 = 110 + 350 = 460; também menor que 510.
- D) R$ 32,00 – 🟢 Correta. 5 * 32 = 160 + 350 = 510. Confere perfeitamente com o valor faltante.
- E) R$ 57,00 – 🔴 Exagerado; 5 * 57 = 285 + 350 = 635, o que ultrapassaria o necessário.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema exigia montar uma equação relacionando o valor que faltava (510) com o total arrecadado pelas 50 pessoas (pagando 7 reais a mais) e pelas 5 novas pessoas (pagando a cota completa).
6.2 Gabarito Reafirmado
Alternativa D) R$ 32,00.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que houver “pessoas novas” entrando em um rateio, monte a equação somando o valor extra das antigas + o valor integral das novas = total que faltava.
