João tem uma loja onde fabrica e vende moedas de chocolate com diâmetro de 4 cm e preço de R$ 1,50 a unidade. Pedro vai a essa loja e, após comer várias moedas de chocolate, sugere ao João que ele faça moedas com 8 cm de diâmetro e mesma espessura e cobre R$ 3,00 a unidade.
Considerando que o preço da moeda depende apenas da quantidade de chocolate, João:
A) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro, o preço também deve dobrar.
B) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 12,00.
C) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 7,50.
D) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 6,00.
E) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 4,50.
Resolução em Texto
📚 Matórias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Área do Círculo)
- Raciocínio Proporcional
- Matemática Financeira (Cálculo de Preço)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Analisar como a alteração em uma dimensão linear (diâmetro/raio) de uma figura plana afeta sua área e, consequentemente, o custo proporcional de um produto baseado nessa área.
📊 Nível da Questão: Médio.
Por quê? A questão contém uma armadilha clássica de proporcionalidade. A intuição leva a pensar que, se o diâmetro dobra, o preço também deveria dobrar (raciocínio linear). No entanto, a quantidade de chocolate depende do volume (ou da área, já que a espessura é constante), que varia com o quadrado do raio. O aluno precisa ter esse conhecimento geométrico para não cair na armadilha e calcular a proporção correta.
✅ Gabarito: Alternativa D.
Resumo: A quantidade de chocolate (e o preço) é proporcional à área da moeda, não ao seu diâmetro. A fórmula da área do círculo é A = πr². Ao dobrar o diâmetro (de 4 para 8 cm), o raio também dobra (de 2 para 4 cm). Como a área depende do raio ao quadrado, ela não dobra, mas quadruplica (2² = 4). Portanto, o novo preço deve ser quatro vezes o preço original:
4 × R$1,50 = R$6,00
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Considerando que o preço da moeda depende apenas da quantidade de chocolate, João…” [deve aceitar ou rejeitar a proposta de Pedro de cobrar R$ 3,00 pela moeda maior?]
O que está sendo pedido?
A questão pede para avaliarmos a proposta de Pedro (dobrar o preço para R$ 3,00) à luz da matemática. Devemos decidir se a proposta é justa e, se não for, qual seria o preço correto para a nova moeda de 8 cm de diâmetro.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é calcular a relação entre as áreas (que representam a quantidade de chocolate) das duas moedas e usar essa relação para determinar o preço justo da moeda maior.
🧠 Se você dobrar os lados de uma pizza quadrada, a quantidade de pizza (a área) também dobra, ou aumenta mais que isso? A lógica para a moeda de chocolate redonda é a mesma!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Diâmetro (d) e Raio (r) de um Círculo:
- O diâmetro é a distância de um lado ao outro do círculo, passando pelo centro.
- O raio é a distância do centro a qualquer ponto da borda.
- Relação: r = d / 2.
- Área do Círculo:
- O que é: A medida da superfície do círculo. Como a espessura da moeda é constante, a quantidade de chocolate é diretamente proporcional à área.
- Fórmula: A = π ⋅ r²
- Ponto Chave: A área não é proporcional ao raio (r), mas sim ao quadrado do raio (r²).
- Relação de Proporcionalidade (Área x Raio):
- Se você multiplica o raio por um fator k, a área será multiplicada por um fator k².
- No problema, o diâmetro (e o raio) dobra. Então, k = 2.
- Portanto, a área será multiplicada por k² = 2² = 4. A área quadruplica.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
João vende uma moedinha de chocolate por R$ 1,50.
Pedro, um cliente, sugere:
“João, por que você não faz uma moedona com o dobro do diâmetro e vende pelo dobro do preço, R$ 3,00?”
A pergunta é: a proposta de Pedro é um bom negócio para o João?
Para responder, precisamos pensar na quantidade de chocolate.
A moedona, com o dobro do diâmetro, tem o dobro de chocolate ou tem mais?
Se tiver mais que o dobro de chocolate, cobrar só o dobro do preço vai dar prejuízo para o João.
Estratéia Geral 🗺️
- Calcular o raio de cada moeda.
- Calcular a área de cada moeda (ou a razão entre as áreas).
- Usar a razão entre as áreas para encontrar o preço justo da moeda maior.
- Comparar o preço justo com o preço proposto por Pedro (R$ 3,00) e escolher a alternativa correta.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Analisar a Moeda Pequena:
- Diâmetro (d₁) = 4 cm
- Raio (r₁) = d₁ / 2 = 2 cm
- Preço (P₁) = R$ 1,50
2. Analisar a Moeda Grande (proposta):
- Diâmetro (d₂) = 8 cm
- Raio (r₂) = d₂ / 2 = 4 cm
3. Calcular a Relação entre as Quantidades de Chocolate (Áreas):
- Área da Moeda Pequena (A₁) = π ⋅ r₁² = π ⋅ (2)² = 4π cm²
- Área da Moeda Grande (A₂) = π ⋅ r₂² = π ⋅ (4)² = 16π cm²
- Razão entre as áreas:
A₂ / A₁ = (16π) / (4π) = 4 - Conclusão: A moeda grande tem 4 vezes a área (e, portanto, 4 vezes a quantidade de chocolate) da moeda pequena.
4. Calcular o Preço Justo da Moeda Grande:
Se a moeda grande tem 4 vezes mais chocolate, seu preço deveria ser 4 vezes o preço da moeda pequena.
- Preço Justo (P₂) = 4 × Preço da Pequena (P₁)
- P₂ = 4 × R$ 1,50
- P₂ = R$ 6,00
5. Avaliar a Proposta de Pedro:
- Pedro sugeriu cobrar R$ 3,00.
- O preço correto seria R$ 6,00.
- A proposta de Pedro é ruim para João, que teria um grande prejuízo.
Conclusão Final: João deve rejeitar a proposta, pois o preço correto seria R$ 6,00.
A Armadilha Comum 🚨
A armadilha é a Alternativa A. É o raciocínio intuitivo, mas incorreto, de que a proporcionalidade é linear. Muita gente pensa “dobrou o diâmetro, dobra o preço”. É fundamental lembrar que a quantidade de material (chocolate) está ligada à área, que tem uma relação quadrática com o raio/diâmetro.
O cálculo nos mostrou que a proposta deve ser rejeitada e que o preço correto é R$ 6,00.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro, o preço também deve dobrar.
Incorreta. Este é o raciocínio falho. A área quadruplica, não dobra.
🔴 B) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 12,00.
Incorreta. O preço deve quadruplicar (4x), não octuplicar (8x).
🔴 C) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 7,50.
Incorreta.
🟢 D) Rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 6,00.
Correta. A análise matemática confirma que, como a área quadruplicou, o preço deve ser 4 vezes R$ 1,50, resultando em R$ 6,00.
🔴 E) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 4,50.
Incorreta. Este seria o resultado se o preço triplicasse.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O preço da moeda de chocolate é proporcional à sua quantidade, que, por sua vez, é proporcional à sua área (pois a espessura é constante). Ao dobrar o diâmetro de 4 cm para 8 cm, o raio dobra de 2 cm para 4 cm. Como a área do círculo é calculada pela fórmula A = πr², a área da nova moeda será 2² = 4 vezes maior que a da moeda original.
Portanto, o preço justo da nova moeda deve ser 4 vezes o preço da antiga, ou seja:
4 × R$ 1,50 = R$ 6,00.
A proposta de Pedro de cobrar apenas R$ 3,00 é desvantajosa e deve ser rejeitada.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a D.
Resumo Final para Revisão
Lembre-se da regra de ouro da proporcionalidade geométrica:
- Se a medida linear (1D) de uma figura (lado, raio, diâmetro) é multiplicada por k:
- O perímetro (1D) é multiplicado por k.
- A área (2D) é multiplicada por k².
- O volume (3D) é multiplicado por k³.
Neste caso, k=2, e a medida relevante era a área, então o fator de multiplicação do preço foi k²=4.
