O trabalho em empresas de festas exige dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal.
Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas.
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua resposta:
FUNCIONÁRIO I: aproximadamente 200 estrelas.
FUNCIONÁRIO II: aproximadamente 6 000 estrelas.
FUNCIONÁRIO III: aproximadamente 12 000 estrelas.
FUNCIONÁRIO IV: aproximadamente 22 500 estrelas.
FUNCIONÁRIO V: aproximadamente 22 800 estrelas.
Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática (Progressão Aritmética – PA)
Tema/Objetivo Geral:
Identificação de um padrão sequencial (uma PA) e cálculo da soma de seus termos.
Nível da Questão:
Médio. A questão é considerada de nível médio pois exige que o aluno identifique o padrão como uma Progressão Aritmética e, mais importante, que conheça e saiba aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA. O cálculo direto (somar 1+2+3+…+150) seria impraticável, tornando o conhecimento da fórmula essencial.
Gabarito:
A alternativa correta é a C. A resposta está correta porque o número total de estrelas é a soma dos números de 1 a 150, que totaliza 11.325. O palpite do Funcionário III (12.000 estrelas) é o mais próximo desse valor exato.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“…determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal, que terá, no total, 150 linhas.” e “Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede duas coisas: primeiro, calcular o número total exato de estrelas no painel; segundo, comparar esse número exato com os cinco palpites dos funcionários para ver qual chegou mais perto.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular a soma S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 150 e, em seguida, determinar qual dos cinco valores (200, 6.000, 12.000, 22.500, 22.800) está a uma distância menor do nosso resultado.
1.4 Pergunta de Atenção
Você tentaria somar todos os números de 1 a 150 na mão? Deve existir uma fórmula, um “atalho” matemático para fazer essa soma de forma rápida e segura, certo?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, o conceito-chave é a Progressão Aritmética (PA) e a fórmula da sua soma.
- Progressão Aritmética (PA):
- O que é? É uma sequência de números onde a diferença entre um termo e seu anterior é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de “razão” da PA.
- No nosso problema: A sequência do número de estrelas por linha é 1, 2, 3, 4, … . A diferença é sempre 1 (2-1=1, 3-2=1, etc.). Portanto, é uma PA de razão 1.
- Soma dos Termos de uma PA (Sn):
- O que é? É uma fórmula genial para somar todos os termos de uma PA sem precisar fazer a conta um por um.
- Fórmula: Sn = (a1 + an) * n / 2
- Termos da Fórmula:
- Sn: A Soma dos n termos que queremos calcular.
- a1: O primeiro termo da sequência.
- an: O último termo da sequência.
- n: O número total de termos na sequência.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
O problema descreve a montagem de um grande triângulo de estrelas. A primeira fileira tem 1 estrela, a segunda tem 2, e assim por diante, até a última fileira, a de número 150, que terá 150 estrelas. Precisamos descobrir quantas estrelas foram usadas no total. Depois de achar esse número, temos que agir como um juiz e decidir qual dos cinco funcionários deu o melhor palpite.
3.2 Estratégia Geral
O plano de ataque é bem direto:
- Identificar que o problema é um caso de soma de Progressão Aritmética.
- Definir os valores de a1, an e n a partir do enunciado.
- Aplicar a fórmula da soma da PA para encontrar o total de estrelas.
- Calcular a diferença entre o total exato e cada um dos palpites para encontrar o mais próximo.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a estratégia.
- 1. Identificando os termos da PA:
- A sequência é: 1, 2, 3, …, 150.
- O primeiro termo (a1) é o número de estrelas na 1ª linha: a1 = 1.
- O último termo (an) é o número de estrelas na 150ª linha: an = 150.
- O número de termos (n) é o total de linhas: n = 150.
- 2. Aplicando a fórmula da Soma da PA (Sn):
- Sn = (a1 + an) * n / 2
- S150 = (1 + 150) * 150 / 2
- S150 = 151 * 150 / 2
- S150 = 151 * 75
- Para fazer essa conta de cabeça: 151 * 75 = (150 + 1) * 75 = (150 * 75) + (1 * 75) = 11250 + 75 = 11325.
- S150 = 11.325
- Portanto, a quantidade exata de estrelas necessárias é 11.325.
- 3. Comparando o resultado com os palpites:
- Vamos calcular a distância (diferença) de cada palpite para o valor real de 11.325.
- Funcionário I (200): |11.325 – 200| = 11.125
- Funcionário II (6.000): |11.325 – 6.000| = 5.325
- Funcionário III (12.000): |11.325 – 12.000| = 675
- Funcionário IV (22.500): |11.325 – 22.500| = 11.175
- Funcionário V (22.800): |11.325 – 22.800| = 11.475
- A menor diferença é de 675, correspondente ao palpite do Funcionário III.
4.2 Verificação Intermediária
O cálculo exato nos deu 11.325 estrelas. A comparação mostra claramente que o palpite de 12.000 é o mais próximo.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais óbvia é a do Funcionário IV. Seu palpite de 22.500 é exatamente 150 * 150. Alguém poderia pensar, de forma simplista, que o total de estrelas seria o número de linhas multiplicado pelo número de estrelas na última linha, como se fosse um quadrado, e não um triângulo. Isso é um erro comum de visualização.
4.4 Fechamento e expectativa
O total exato de estrelas é 11.325, e o funcionário que chegou mais perto foi o III. Agora vamos procurar a alternativa que corresponde a ele.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) I: Incorreto. O palpite de 200 estrelas está extremamente longe do valor real de 11.325.
- (🔴) B) II: Incorreto. O palpite de 6.000 está a mais de 5.000 estrelas de distância.
- (🟢) C) III: Correto. O palpite de 12.000 estrelas é o mais próximo do total exato de 11.325, com uma diferença de apenas 675.
- (🔴) D) IV: Incorreto. O palpite de 22.500 está muito distante, quase o dobro do valor real.
- (🔴) E) V: Incorreto. O palpite de 22.800 também está muito longe.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para resolver o problema, identificamos que o número de estrelas em cada linha formava uma Progressão Aritmética. Usamos a fórmula da soma da PA para calcular o total exato de estrelas (11.325). Finalmente, comparamos este total com os palpites dos funcionários e concluímos que o do Funcionário III era o mais próximo.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) III.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para somar uma sequência de números que cresce de forma constante (como 1, 2, 3… ou 2, 4, 6…), lembre-se sempre da fórmula da soma da PA: Soma = (Primeiro + Último) * Quantidade / 2. É um atalho poderoso
