Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra.
Revista Exame. 21 abr. 2010.
A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período é
A) f(x) = 3x
B) f(x) = 24
C) f(x) = 27
D) f(x) = 3x + 24
E) f(x) = 24x + 3
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática (Função do 1º Grau / Função Afim)
Tema/Objetivo Geral:
Modelagem matemática de uma situação-problema, traduzindo um texto em uma expressão algébrica linear.
Nível da Questão:
Fácil. A questão é considerada fácil pois é uma aplicação direta e clássica do conceito de função do 1º grau, onde os custos fixos e variáveis são claramente descritos no enunciado. A montagem da expressão não requer cálculos complexos.
Gabarito:
A alternativa correta é a D. Ela está correta porque o custo total (f(x)) é a soma de uma parte fixa (a anuidade de $24) e uma parte variável (o custo de $3 por cada hora extra x), resultando na expressão f(x) = 3x + 24.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período é”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para criar uma fórmula matemática (uma função) que calcule o custo total anual (f) com base no número de horas extras (x) que uma pessoa utiliza.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é montar uma função f(x) que represente o custo total, identificando corretamente qual parte do custo é fixa e qual parte varia de acordo com x.
1.4 Pergunta de Atenção
Você já reparou que em muitas contas do dia a dia (como de celular ou de apps de transporte) existe um valor fixo e outro que varia com o seu consumo? Qual parte dessa conta da bicicleta é fixa e qual é variável?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, o conceito principal é o de Função do 1º Grau, também conhecida como Função Afim.
- O que é? É um tipo de função que descreve situações com uma taxa de variação constante. Seu gráfico é sempre uma linha reta. Ela é perfeita para modelar situações com custos fixos e variáveis.
- Fórmula Geral: f(x) = ax + b
- Analisando os termos da fórmula:
- b (Coeficiente Linear ou Parte Fixa): Este é o valor que não muda, independentemente do valor de x. É a taxa de assinatura, a taxa inicial, o custo fixo. No exemplo de uma corrida de táxi, seria a “bandeirada”, o valor que você paga só por entrar no carro.
- a (Coeficiente Angular ou Taxa de Variação): Este é o valor que define a parte variável. É o custo por unidade, por hora, por quilômetro. Este valor está sempre multiplicando a variável x. No exemplo do táxi, seria o preço por quilômetro rodado.
- x: É a variável independente, a quantidade que pode mudar (horas, quilômetros, etc.).
- f(x): É a variável dependente, o resultado final (o custo total, o valor a pagar).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você assinou um serviço de aluguel de bicicletas. Só para ter o direito de usar o serviço por um ano, você paga uma taxa única de $24. Esse valor você paga de qualquer jeito, mesmo que não use nenhuma hora extra. Agora, se você passar do tempo grátis, cada hora a mais que você pedala te custa $3. Precisamos criar a fórmula da “conta final do ano”, que junte a taxa de assinatura com o custo das horas extras.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque é identificar os componentes da função f(x) = ax + b no texto:
- Encontrar o “custo fixo” (o valor de b).
- Encontrar o “custo por hora extra” (o valor de a).
- Juntar tudo na fórmula.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos aplicar nossa estratégia ao texto do problema.
- 1. Identificando a Parte Fixa (o coeficiente b):
- O enunciado diz: “Por uma anuidade de 24 dólares…”.
- “Anuidade” é uma taxa paga uma vez por ano. Este é o nosso custo fixo, que não depende de quantas horas extras (x) são usadas.
- Portanto, b = 24.
- 2. Identificando a Parte Variável (o coeficiente a):
- O enunciado diz: “…se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra.”
- Este é o custo que se repete para cada unidade de x (cada hora extra). Esta é a nossa taxa de variação.
- Portanto, a = 3.
- 3. Montando a Função:
- Agora, substituímos os valores de a e b na fórmula geral f(x) = ax + b.
- f(x) = (3)x + (24)
- f(x) = 3x + 24
4.2 Verificação Intermediária
Vamos testar a nossa fórmula. Se um usuário não usar nenhuma hora extra (x = 0), ele pagaria f(0) = 3*0 + 24 = R$ 24. Isso é correto, é o valor da unidade. Se ele usar 2 horas extras (x=2) , ele pagaria f(2) = 3.2 + 24 = 6 + 24 = 30. Isso também está correto (a anuidade mais 2 horas a $3 cada). A fórmula funciona.
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha comum seria inverter os papéis dos custos fixo e variável. Você poderia ler rápido e pensar que a anuidade é $3 e o custo por hora é $24, o que levaria à fórmula f(x) = 24x + 3 (Alternativa E). É fundamental ler o texto com atenção para identificar o que é “taxa única” (fixo) e o que é “por unidade” (variável).
4.4 Fechamento e expectativa
A expressão que encontramos foi f(x) = 3x + 24. Agora, esperamos encontrar essa exata expressão em uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) f(x) = 3x
B) f(x) = 24
C) f(x) = 27
D) f(x) = 3x + 24
E) f(x) = 24x + 3
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) f(x) = 3x: Incorreta. Esta expressão representa apenas o custo das horas extras, ignorando a taxa fixa anual de $24.
- (🔴) B) f(x) = 24: Incorreta. Esta expressão representa o custo apenas se não houvesse cobrança por horas extras.
- (🔴) C) f(x) = 27: Incorreta. Este é o valor numérico do custo para exatamente uma hora extra (24 + 3), mas não é uma função que varia com x.
- (🟢) D) f(x) = 3x + 24: Correta. Esta expressão combina perfeitamente o custo variável (3 dólares por hora extra x) com o custo fixo (a anuidade de 24 dólares).
- (🔴) E) f(x) = 24x + 3: Incorreta. Esta expressão inverte os custos, tratando a anuidade como o custo por hora e a taxa da hora extra como o custo fixo.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para resolver a questão, identificamos no texto um custo fixo (a anuidade de $24) e um custo variável (a taxa de $3 por hora extra). Em seguida, modelamos essa situação usando a forma geral de uma função do 1º grau, f(x) = ax + b, onde a é o custo variável e b é o custo fixo.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) f(x) = 3x + 24.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que um problema apresentar uma “taxa fixa” ou “custo inicial” somado a um “custo por unidade” (por hora, por km, etc.), lembre-se da fórmula da função do 1º grau: Custo Total = (Custo por Unidade) × (Quantidade) + Custo Fixo.
