Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de
A) 12 cm³
B) 64 cm³
C) 96 cm³
D) 1216 cm³
E) 1728 cm³
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial
- Cálculo de Volume de Cubos
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo do volume de um sólido vazado (um cubo oco) através da subtração de volumes.
Nível da Questão
Fácil – A questão é considerada fácil pois exige apenas a aplicação direta da fórmula do volume do cubo e uma operação de subtração. Não há conceitos complexos ou interpretações ambíguas para resolver o problema.
Gabarito
D) 1216 cm³ – Esta alternativa está correta porque representa a diferença entre o volume do cubo maior (1728 cm³) e o volume do cubo menor, que é o espaço vazio (512 cm³), resultando no volume exato de madeira utilizada.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcularmos o volume do material (madeira) que compõe o porta-lápis, desconsiderando o espaço vazio interno.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar o volume da madeira subtraindo o volume do buraco (cubo menor) do volume total da peça (cubo maior).
1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembrou que para encontrar o volume do material, precisamos calcular os volumes separadamente e só depois subtrair? Subtrair as arestas primeiro (12 – 8 = 4) e depois elevar ao cubo daria um resultado completamente diferente!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
Para resolver esta questão, precisamos de um conceito fundamental da geometria espacial:
- Volume de um Cubo:
- O que é? É a medida do espaço tridimensional que um cubo ocupa.
- Como calcular? O volume (V) de um cubo é encontrado multiplicando a medida de sua aresta (a) por ela mesma três vezes.
- Fórmula: V = a³ (lê-se “aresta ao cubo”).
- Volume de um Sólido Oco (por Subtração):
- O que é? É o volume do material que forma as “paredes” de um objeto.
- Como calcular? Calculamos o volume total do objeto como se ele fosse maciço e depois subtraímos o volume da parte vazia (o “buraco”).
- Fórmula Conceitual: Volume do Material = Volume Total – Volume do Buraco
- Exemplo do cotidiano: Pense em uma caixa de papelão. O volume de papelão usado é o volume da caixa por fora menos o volume do espaço vazio por dentro.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir a situação: imagine um grande bloco de madeira em forma de cubo. Agora, pegamos uma ferramenta e escavamos um buraco, também em forma de cubo, bem no meio dele. A pergunta é simplesmente: qual o volume da madeira que sobrou, formando as paredes, o fundo e o topo do nosso porta-lápis?
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque é muito simples e direto:
- Calcular o volume do cubo maior (externo), como se a peça fosse um bloco maciço.
- Calcular o volume do cubo menor (o espaço vazio interno).
- Subtrair o volume do espaço vazio do volume total. O resultado será o volume da madeira.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a nossa estratégia, calculando cada parte.
1. Calculando o Volume do Cubo Maior (V_maior):
- A aresta do cubo maior mede 12 cm.
- Aplicando a fórmula do volume:
V_maior = a³
V_maior = 12³
V_maior = 12 * 12 * 12
V_maior = 144 * 12
V_maior = 1728 cm³
2. Calculando o Volume do Cubo Menor (V_menor):
- A aresta do cubo menor (o buraco) mede 8 cm.
- Aplicando a fórmula do volume:
V_menor = a³
V_menor = 8³
V_menor = 8 * 8 * 8
V_menor = 64 * 8
V_menor = 512 cm³
3. Calculando o Volume da Madeira:
Agora, subtraímos o volume do buraco do volume total.
V_madeira = V_maior – V_menor
V_madeira = 1728 – 512
V_madeira = 1216 cm³
4.2 Verificação Intermediária
Até aqui, calculamos o volume do cubo externo (1728 cm³) e do cubo interno (512 cm³). A subtração entre eles nos deu o volume de madeira de 1216 cm³. Os passos estão corretos.
4.3 Possível armadilha
A maior armadilha, como mencionado antes, é subtrair as arestas primeiro: 12 cm – 8 cm = 4 cm. Se você, por engano, calculasse o volume a partir dessa diferença, encontraria 4³ = 64 cm³. Essa resposta corresponde à alternativa B e foi colocada lá justamente para testar se você entende que os volumes não podem ser calculados a partir da diferença das arestas.
4.4 Fechamento e expectativa
O cálculo detalhado nos levou a um volume final de 1216 cm³. Agora, vamos procurar por este valor nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 12 cm³
B) 64 cm³
C) 96 cm³
D) 1216 cm³
E) 1728 cm³
5.2 Justificativa Individual
- A) 12 cm³ (🔴): Incorreto. Este é o valor da aresta do cubo maior, não de um volume.
- B) 64 cm³ (🔴): Incorreto. Este é o resultado da “armadilha”: subtrair as arestas antes de calcular o volume ((12 – 8)³ = 4³ = 64).
- C) 96 cm³ (🔴): Incorreto. Este valor poderia surgir de um erro de cálculo, como multiplicar as duas arestas (12 * 8 = 96).
- D) 1216 cm³ (🟢): Correto. Este é o valor exato que encontramos ao subtrair o volume do cubo interno (512 cm³) do volume do cubo externo (1728 cm³).
- E) 1728 cm³ (🔴): Incorreto. Este é o volume do cubo maior, mas a questão pede o volume da madeira, ou seja, desconsiderando o espaço vazio.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para encontrar o volume de madeira, calculamos o volume total que a peça ocuparia se fosse maciça (cubo de aresta 12) e subtraímos o volume do espaço vazio interno (cubo de aresta 8). A diferença entre esses dois volumes nos deu o volume exato do material utilizado.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D), pois o volume de madeira utilizado foi de 1216 cm³.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da regra de ouro para objetos ocos: o volume do material é sempre Volume do Todo – Volume do Vazio.
