Questão 177 caderno azul ENEM 2010 comum Dia 2

Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (10⁷) de litros de água potável.

Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado).

Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consomem 1 000 litros de óleo em frituras por semana.

Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade?

A) 10 -²

B) 10³

C) 10⁴

D) 10⁶

E) 10⁹

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Regra de Três Simples
Potenciação (Propriedades de Potências de 10)
Interpretação de Texto

Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de proporção direta utilizando regra de três, com os resultados expressos em notação de potência.

Nível da Questão
Fácil – A questão é considerada fácil pois envolve a aplicação direta de uma regra de três simples, um dos conceitos mais fundamentais da matemática. A única complexidade adicional é a necessidade de manipular potências de base 10, o que também é uma habilidade básica.

Gabarito
E) 10⁹ – Esta é a quantidade correta de água contaminada. O cálculo é feito estabelecendo uma proporção direta entre a quantidade de óleo descartado e a quantidade de água contaminada, utilizando os dados fornecidos.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial
“Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade?”

1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para calcular o volume total de água que seria contaminado por 1.000 litros de óleo, com base na proporção dada no texto.

1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é usar uma regra de três para escalar a relação de contaminação (de 10 litros de óleo para 1.000 litros) e encontrar o valor correspondente de água contaminada.

1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a melhor forma de trabalhar com os números deste problema é usando potências de base 10? Isso vai simplificar muito as contas e evitar erros com excesso de zeros!

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas

Regra de Três Simples e Direta: É uma ferramenta matemática para resolver problemas que envolvem duas grandezas diretamente proporcionais. Se uma grandeza aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção.
- Como montar?
  1. Organize os dados em duas colunas, uma para cada grandeza.
  2. Coloque os valores correspondentes na mesma linha.
  3. A grandeza que você quer descobrir é representada por x.
    Exemplo:
    | Óleo (litros) | Água Contaminada (litros) |
    | :— | :— |
    | 10 | 10.000.000 |
    | 1.000 | x |
- Como resolver? Multiplique os valores em “cruz”: 10 * x = 1.000 * 10.000.000

Potências de Base 10: É uma forma compacta de escrever números muito grandes ou muito pequenos.
- 10¹ = 10
- 10³ = 1.000 (mil)
- 10⁷ = 10.000.000 (dez milhões)

Propriedades das Potências:
- Multiplicação: Para multiplicar potências de mesma base, mantenha a base e some os expoentes. 10^a * 10^b = 10^(a+b)
- Divisão: Para dividir potências de mesma base, mantenha a base e subtraia os expoentes. 10^a / 10^b = 10^(a-b)

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada
Vamos simplificar a história: temos uma “receita de contaminação”. A receita diz: “Para cada 10 litros de óleo, você contamina 10 milhões de litros de água”. Agora, a cidade inteira usou 1.000 litros de óleo. Nossa missão é usar a receita para calcular o estrago total na água. Como o consumo de óleo aumentou, a contaminação da água também vai aumentar na mesma proporção.

3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:

Traduzir todos os números do problema para potências de base 10.
Montar a regra de três com esses valores.
Resolver a regra de três utilizando as propriedades de potenciação para encontrar o valor de x.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar nossa estratégia.

1. Traduzindo os Dados para Potências de 10:

Quantidade de óleo da “receita”: 10 litros = 10¹ L
Quantidade de água contaminada pela “receita”: 10 milhões (10⁷) de litros = 10⁷ L
Quantidade de óleo consumida pela cidade: 1.000 litros = 10³ L
Quantidade de água contaminada pela cidade: x

2. Montando a Regra de Três:
Vamos organizar os dados em uma tabela:
| Óleo (L) | Água Contaminada (L) |
| :— | :— |
| 10¹ | 10⁷ |
| 10³ | x |

3. Resolvendo a Regra de Três:
Multiplicamos em cruz:
10¹ * x = 10³ * 10⁷

Usamos a propriedade da multiplicação de potências no lado direito:
10¹ * x = 10^(3 + 7)
10¹ * x = 10¹⁰

Agora, para isolar o x, passamos o 10¹ que está multiplicando para o outro lado, dividindo:
x = 10¹⁰ / 10¹

Usamos a propriedade da divisão de potências:
x = 10^(10 – 1)
x = 10⁹

4.2 Verificação Intermediária
O resultado é 10⁹ litros, que corresponde a 1 bilhão de litros. Vamos pensar logicamente: a quantidade de óleo aumentou de 10 para 1.000 litros, ou seja, foi multiplicada por 100 (ou 10²). Portanto, a quantidade de água contaminada também deve ser multiplicada por 100: 10⁷ * 100 = 10⁷ * 10² = 10⁹. O resultado bate perfeitamente.

4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria errar nas propriedades de potenciação. Por exemplo, na multiplicação 10³ * 10⁷, um aluno desatento poderia multiplicar os expoentes (3*7=21) em vez de somá-los. Outro erro seria se confundir com a grande quantidade de zeros ao trabalhar com os números por extenso, o que torna o uso de potências de 10 uma estratégia muito mais segura.

4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou ao resultado de 10⁹ litros de água contaminada. Agora, vamos verificar se essa resposta está disponível nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) 10⁻²
B) 10³
C) 10⁴
D) 10⁶
E) 10⁹

5.2 Justificativa Individual

A) 10⁻² (🔴): Incorreto. Um expoente negativo indicaria uma contaminação muito pequena, o que não faz sentido.
B) 10³ (🔴): Incorreto. Este é o valor do consumo de óleo da cidade, não da água contaminada.
C) 10⁴ (🔴): Incorreto. Provavelmente resultado de um erro grave de cálculo.
D) 10⁶ (🔴): Incorreto. Este valor seria 10⁷ / 10, que resultaria de uma montagem incorreta da regra de três.
E) 10⁹ (🟢): Correto. Este é o resultado exato que encontramos ao resolver a proporção corretamente.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido estabelecendo uma proporção direta entre o volume de óleo descartado e o de água contaminada. Montamos uma regra de três e, utilizando as propriedades de potenciação para simplificar os cálculos, encontramos o volume total de água contaminada.

6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E), pois a quantidade de água potável contaminada seria de 10⁹ litros.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para problemas envolvendo números muito grandes (com muitos zeros), a melhor estratégia é sempre convertê-los para potências de base 10. Isso torna os cálculos de multiplicação e divisão muito mais simples e menos propensos a erros.